Exercício 0.4 Calcule as derivas implícitas a seguir:
x cos (y)+y cos (x)=1.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação implícita x cos(y) + y cos(x) = 1. Precisamos encontrar dydx usando derivação implícita, aplicando regra do produto e regra da cadeia.

Passo 2

Derivamos cada termo em relação a x. Para xcos(y):
ddx[xcos(y)] = cos(y) - xsin(y),y'
Para ycos(x):
ddx[ycos(x)] = cos(x),y' - ysin(x)
A derivada de 1 é zero. Somando:
cos(y) - xsin(y),y' + cos(x),y' - ysin(x) = 0

Passo 3

Agrupamos os termos que contêm y' e os que não contêm. Assim:
(-xsin(y) + cos(x)),y' + cos(y) - ysin(x) = 0

Passo 4

Para isolar y', movemos cos(y) - ysin(x) para o outro lado e dividimos por -xsin(y) + cos(x).

Resposta

dydx = y sin(x) - cos(y)cos(x) - x sin(y)

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