Considere a função: f(x)=5 xx^2+1
Identifique os os intervalos de concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão.

Passo 1

A questão dá a função f(x)=5xx^2+1 e pede para achar onde ela é côncava para cima e para baixo e também os pontos de inflexão. Vamos usar derivadas e analisar o sinal da segunda derivada.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada usando a regra do quociente:
f'(x)=5(x^2+1)-5xcdot 2x(x^2+1)^2=5-5x^2(x^2+1)^2=51-x^2(x^2+1)^2

Passo 3

Agora derivamos f'(x)=5(1-x^2)(x^2+1)^-2 para obter a segunda derivada. Aplicando produto e cadeia chegamos a:
f''(x)=10xx^2-3(x^2+1)^3

Passo 4

Para encontrar concavidade e pontos de inflexão, achamos onde f''(x)=0 e analisamos o sinal de f''(x). O numerador zero dá x=0 e x=pmraiz3. Como o denominador é sempre positivo, basta olhar o sinal de x(x^2-3).

Passo 5

Da análise de sinais temos:
  • f''(x)<0 em ( -infty,-raiz3) e (0,raiz3), logo concavidade para baixo nesses intervalos.
  • f''(x)>0 em ( -raiz3,0) e (raiz3,infty), logo concavidade para cima nesses intervalos.
    Como f'' troca de sinal em x=-raiz3,0,raiz3, esses são pontos de inflexão.

Resposta

Concavidade para cima em (-raiz3,0)cup(raiz3,infty); concavidade para baixo em (-infty,-raiz3)cup(0,raiz3). Pontos de inflexão em (-raiz3,-5raiz3/4), (0,0) e (raiz3,5raiz3/4).

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