Considere a função:
Identifique os os intervalos de concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão.
Identifique os os intervalos de concavidade para cima e para baixo e os pontos de inflexão.
Passo 1
A questão dá a função
e pede para achar onde ela é côncava para cima e para baixo e também os pontos de inflexão. Vamos usar derivadas e analisar o sinal da segunda derivada.
Passo 2
Calculamos a primeira derivada usando a regra do quociente:
Passo 3
Agora derivamos
para obter a segunda derivada. Aplicando produto e cadeia chegamos a:
Passo 4
Para encontrar concavidade e pontos de inflexão, achamos onde
e analisamos o sinal de
. O numerador zero dá
e
. Como o denominador é sempre positivo, basta olhar o sinal de
.
Passo 5
Da análise de sinais temos:
-
em e , logo concavidade para baixo nesses intervalos. -
em e , logo concavidade para cima nesses intervalos.
Comotroca de sinal em , esses são pontos de inflexão.
Resposta
Concavidade para cima em
; concavidade para baixo em
. Pontos de inflexão em
,
e
.