Ache a área compreendida pela parábola
e a reta
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar a área compreendida pela parábola $ y = x^{2} $ e a reta $ y = x + 2 $. Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente de integração, para calcular essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a parábola e a reta se interceptam. Para isso, igualamos as duas equações:
Subtraindo tudo para um lado:
Agora, vamos resolver essa equação de segundo grau para encontrar os pontos de interseção.
Passo 3
Usamos a fórmula de Bhaskara para resolver $ x^{2} - x - 2 = 0 $:
Aqui, $ a = 1 $, $ b = -1 $, $ c = -2 $:
Então, as soluções são:
Portanto, os pontos de interseção são em $ x = -1 $ e $ x = 2 $.
Passo 4
Agora que sabemos os limites de integração, precisamos determinar qual das duas funções está acima da outra nesse intervalo. Vamos testar um valor dentro do intervalo, por exemplo, $ x = 0 $:
Como $ y_{reta} > y_{parábola} $ em $ x = 0 $, conclui-se que a reta está acima da parábola entre $ x = -1 $ e $ x = 2 $.
Passo 5
A área entre as duas curvas será a integral da diferença das funções, da função de cima menos a de baixo, entre os pontos de interseção:
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Avaliar de $ x = -1 $ a $ x = 2 $:
Para $ x = 2 $:
Para $ x = -1 $:
Então, a área é:
Resposta
A área compreendida pela parábola $ y = x^{2} $ e pela reta $ y = x + 2 $ é $ \frac{9}{2} $ unidades de área.