Considere a função: f(x)=4 xx^2-1
Ache as assíntotas horizontais e verticais ao gráfico de f caso existam.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x) = \frac{4x}{x^{2} - 1} $ e precisa encontrar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de assíntotas que fazem parte do estudo de funções racionais na matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos procurar as assíntotas verticais. Essas assíntotas aparecem onde o denominador da função é igual a zero, já que a função não está definida nesses pontos e o gráfico “se aproxima” de lá.
Então, vamos resolver a equação do denominador:
x^2 - 1 = 0
Para resolver essa equação, deslocamos o 1 para o outro lado:
x^2 = 1
Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
x = pm 1
Isso significa que temos duas assíntotas verticais em $ x = 1 $ e $ x = -1 $.

Passo 3

Agora, vamos procurar as assíntotas horizontais. Essas assíntotas mostram o comportamento da função quando $ x $ vai para mais ou menos infinito. Para encontrar, comparamos o grau do polinômio do numerador com o grau do denominador.
No nosso caso:
  • O grau do numerador $ 4x $ é 1.
  • O grau do denominador $ x^{2} - 1 $ é 2.
Quando o grau do denominador é maior que o grau do numerador, a assíntota horizontal é $ y = 0 $.

Resposta

As assíntotas da função $ f(x) = \frac{4x}{x^{2} - 1} $ são:
  • Assíntotas Verticais: $ x = 1 $ e $ x = -1 $
  • Assíntota Horizontal: $ y = 0 $

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