Considere a função:
Ache as assíntotas horizontais e verticais ao gráfico de
caso existam.
Ache as assíntotas horizontais e verticais ao gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x) = \frac{4x}{x^{2} - 1} $ e precisa encontrar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de assíntotas que fazem parte do estudo de funções racionais na matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos procurar as assíntotas verticais. Essas assíntotas aparecem onde o denominador da função é igual a zero, já que a função não está definida nesses pontos e o gráfico “se aproxima” de lá.
Então, vamos resolver a equação do denominador:
Para resolver essa equação, deslocamos o 1 para o outro lado:
Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Isso significa que temos duas assíntotas verticais em $ x = 1 $ e $ x = -1 $.
Passo 3
Agora, vamos procurar as assíntotas horizontais. Essas assíntotas mostram o comportamento da função quando $ x $ vai para mais ou menos infinito. Para encontrar, comparamos o grau do polinômio do numerador com o grau do denominador.
No nosso caso:
- O grau do numerador $ 4x $ é 1.
- O grau do denominador $ x^{2} - 1 $ é 2.
Quando o grau do denominador é maior que o grau do numerador, a assíntota horizontal é $ y = 0 $.
Resposta
As assíntotas da função $ f(x) = \frac{4x}{x^{2} - 1} $ são:
- Assíntotas Verticais: $ x = 1 $ e $ x = -1 $
- Assíntota Horizontal: $ y = 0 $