Determine o domínio das funçẽes vetoriais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o domínio da função vetorial
. O domínio de uma função é basicamente o conjunto de valores de
para os quais a função está bem definida. Para resolver isso, vamos analisar cada componente da função separadamente e ver quais valores de
fazem cada uma delas funcionar direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a primeira componente:
. Aqui, temos uma fração onde
está no denominador. Lembre-se que não podemos dividir por zero, então
não pode ser igual a zero. Ou seja, para essa parte funcionar,
.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda componente:
. Nesse caso, temos uma raiz quadrada no denominador. Para que a raiz quadrada esteja bem definida nos números reais, o que está dentro dela (o radicando) precisa ser maior ou igual a zero. Então,
exige que
porque a raiz quadrada de números negativos não é real, e também não podemos ter divisão por zero. Portanto, para essa parte,
tem que ser maior que zero.
Passo 4
Por último, temos a terceira componente:
. Aqui, dentro da raiz quadrada, temos
. Como
é sempre positivo ou zero para qualquer número real
,
será sempre maior que zero. Isso significa que essa parte está bem definida para qualquer valor real de
. Não há restrições adicionais aqui.
Resposta
Juntando todas as restrições que encontramos:
-
(da primeira componente) -
(da segunda componente)
A interseção dessas condições é simplesmente
. Portanto, o domínio da função vetorial
é todos os números reais positivos.