Determine o domínio das funçẽes vetoriais.
r(t)=(1t, 2-traizt, raizt^2+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar o domínio da função vetorial r(t) = (1t, 2-traizt, raizt^2+1). O domínio de uma função é basicamente o conjunto de valores de t para os quais a função está bem definida. Para resolver isso, vamos analisar cada componente da função separadamente e ver quais valores de t fazem cada uma delas funcionar direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira componente: 1t. Aqui, temos uma fração onde t está no denominador. Lembre-se que não podemos dividir por zero, então t não pode ser igual a zero. Ou seja, para essa parte funcionar, t neq 0.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: 2-traizt. Nesse caso, temos uma raiz quadrada no denominador. Para que a raiz quadrada esteja bem definida nos números reais, o que está dentro dela (o radicando) precisa ser maior ou igual a zero. Então, raizt exige que t > 0 porque a raiz quadrada de números negativos não é real, e também não podemos ter divisão por zero. Portanto, para essa parte, t tem que ser maior que zero.

Passo 4

Por último, temos a terceira componente: raizt^2+1. Aqui, dentro da raiz quadrada, temos t^2 + 1. Como t^2 é sempre positivo ou zero para qualquer número real t, t^2 + 1 será sempre maior que zero. Isso significa que essa parte está bem definida para qualquer valor real de t. Não há restrições adicionais aqui.

Resposta

Juntando todas as restrições que encontramos:
  • t neq 0 (da primeira componente)
  • t > 0 (da segunda componente)
A interseção dessas condições é simplesmente t > 0. Portanto, o domínio da função vetorial r(t) é todos os números reais positivos.
boxedt > 0

Exercícios relacionados