Considere a função:
Identifique os pontos críticos, os máximos e mínimos locais e os intervalos onde a função
é crescente e onde é decrescente.
Identifique os pontos críticos, os máximos e mínimos locais e os intervalos onde a função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x) = \frac{4x}{x^{2} - 1} $ e precisamos descobrir os pontos críticos, os máximos e mínimos locais, além de identificar onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas, que nos ajuda a entender como a função se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função $ f(x) $ em relação a $ x $. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como ela muda conforme $ x $ muda.
A função é uma fração, então vamos usar a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver $ f’(x) = 0 $. Os pontos críticos são onde a derivada é zero ou não existe.
Olha só a derivada que encontramos:
O numerador $ -4(x^{2} + 1) $ nunca é zero porque $ x^{2} + 1 $ sempre é positivo. Então, a única forma de $ f’(x) = 0 $ seria se o numerador fosse zero, o que não acontece. Portanto, não há pontos críticos onde a derivada é zero.
Porém, a derivada não existe nos pontos onde o denominador é zero, ou seja, quando $ x^{2} - 1 = 0 $, que resolve para $ x = 1 $ e $ x = -1 $. Esses pontos são assíntotas verticais da função.
Passo 4
Vamos agora determinar onde a função está crescente ou decrescente. Para isso, analisamos o sinal da derivada $ f’(x) $.
A derivada:
Sabemos que $ x^{2} + 1 $ é sempre positivo e $ (x^{2} - 1)^{2} $ também é sempre positivo (já que é um quadrado). Então, o sinal da derivada depende apenas do fator $ -4 $, que é negativo.
Isso significa que $ f’(x) $ é sempre negativo, exceto nos pontos onde não está definido ($ x = 1 $ e $ x = -1 $).
Portanto:
- A função está sempre decrescente em todos os intervalos onde está definida.
Passo 5
Como não temos pontos críticos onde a derivada é zero e a função está sempre decrescente, podemos concluir que não há máximos ou mínimos locais na função $ f(x) $.
Resposta
A função $ f(x) = \frac{4x}{x^{2} - 1} $ não possui pontos críticos onde a derivada é zero. Ela apresenta assíntotas verticais em $ x = 1 $ e $ x = -1 $. Além disso, a função está sempre decrescente em todos os intervalos onde está definida e não possui máximos ou mínimos locais.