Considere a função
Encontre as assíntotas horizontais e as assíntotas verticais, caso existam, do gráfico de
, fazendo um estudo completo dos limites infinitos e no infinito;
Encontre as assíntotas horizontais e as assíntotas verticais, caso existam, do gráfico de
Passo 1
Temos a função
. O que queremos é encontrar as assíntotas verticais (pontos onde a função “explode”) e as assíntotas horizontais (tendência da função quando
). Vamos usar limites unilaterais para as verticais e limites no infinito para as horizontais.
Passo 2
Para achar assíntotas verticais, primeiro identifique o domínio: o denominador
não pode ser zero. Logo,
dá
ou
. São esses os candidatos a assíntotas verticais, pois a função não está definida neles.
Passo 3
Agora calcule os limites unilaterais em
:
- Para
, o numerador tende a (negativo) e o fator vem negativo pequeno, enquanto . Então o denominador é negativo pequeno e . - Para
, o numerador tende a e é positivo pequeno, com . O denominador é positivo pequeno, logo .
Isso confirma assíntota vertical em.
Passo 4
Agora calcule os limites unilaterais em
:
- Para
, o numerador tende a (positivo), é negativo pequeno e . O produto no denominador fica positivo pequeno, logo . - Para
, o numerador tende a , é positivo pequeno e , dando denominador negativo pequeno e .
Isso confirma assíntota vertical em.
Passo 5
Para encontrar assíntotas horizontais, analisamos
. Note que
, então
À medida que
ou
, (-3/x)\to0. Portanto
o que indica a assíntota horizontal
.
Passo 6
Portanto, as assíntotas da função são:
- Verticais:
e . - Horizontal:
.