Considere a função f(x)=-3 xx^2-4
Encontre as assíntotas horizontais e as assíntotas verticais, caso existam, do gráfico de f, fazendo um estudo completo dos limites infinitos e no infinito;

Passo 1

Temos a função f(x)=-3xx^2-4. O que queremos é encontrar as assíntotas verticais (pontos onde a função “explode”) e as assíntotas horizontais (tendência da função quando xtopminfty). Vamos usar limites unilaterais para as verticais e limites no infinito para as horizontais.

Passo 2

Para achar assíntotas verticais, primeiro identifique o domínio: o denominador x^2-4 não pode ser zero. Logo, x^2-4=0 x=2 ou x=-2. São esses os candidatos a assíntotas verticais, pois a função não está definida neles.

Passo 3

Agora calcule os limites unilaterais em x=2:
  • Para xto2^-, o numerador -3x tende a -6 (negativo) e o fator (x-2) vem negativo pequeno, enquanto (x+2)approx4>0. Então o denominador é negativo pequeno e f(x)to+infty.
  • Para xto2^+, o numerador tende a -6 e (x-2) é positivo pequeno, com (x+2)>0. O denominador é positivo pequeno, logo f(x)to-infty.
    Isso confirma assíntota vertical em x=2.

Passo 4

Agora calcule os limites unilaterais em x=-2:
  • Para xto-2^-, o numerador -3x) tende a 6 (positivo), (x+2) é negativo pequeno e (x-2)approx-4<0. O produto no denominador fica positivo pequeno, logo f(x)to+infty.
  • Para xto-2^+, o numerador tende a 6, (x+2) é positivo pequeno e (x-2)<0, dando denominador negativo pequeno e f(x)to-infty.
    Isso confirma assíntota vertical em x=-2.

Passo 5

Para encontrar assíntotas horizontais, analisamos xtopminfty. Note que x^2-4sim x^2, então
f(x)=-3xx^2-4sim-3xx^2=-3x
À medida que xto+infty ou xto-infty, (-3/x)\to0. Portanto
limxtopminftyf(x)=0,
o que indica a assíntota horizontal y=0.

Passo 6

Portanto, as assíntotas da função são:
  • Verticais: x = 2 e x = -2.
  • Horizontal: y = 0.

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