Sejam a, b in R e seja f a função definida por:
f(x)=cc x^2-x+4, & se x <= 2 b-a x, & se x>2
Determine os valores de a e b para que f seja:
contínua;

Passo 1

O enunciado pede que a função definida por partes seja contínua em x=2; o conteúdo é continuidade de funções definidas por pedaços e vamos usar a definição: para ser contínua em x=2, lim f(x) por x→2⁻ = lim f(x) por x→2⁺ = f(2).

Passo 2

Como x=2 pertence à primeira parte (x≤2), o valor da função em 2 é f(2)=2²−2+4. Calculando, temos f(2)=4−2+4=6.

Passo 3

Para o limite pela direita (x→2⁺), usamos a expressão b−ax. Então lim_{x→2⁺}f(x)=b−a·2=b−2a.

Passo 4

Igualando o limite à direita ao valor em 2 para garantir continuidade, obtemos b−2a=6. Desse modo, b=6+2a.

Passo 5

Concluímos que para qualquer a∈ℝ e b satisfazendo b=6+2a, f é contínua em x=2.

Resposta

b=6+2a

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