Sejam f(x)=ln (1-x1+x^2) e g(x)=(x^3+x-1) sen(4 x). Calcule:
lim x 0 g^prime(x).

Passo 1

O enunciado pede o limite de g′(x) quando x→0, onde g(x)=(x³+x−1)·sen(4x). Isso envolve conteúdo de derivada de produto e derivada de função composta (no caso sen(4x)).

Passo 2

Sejam u(x)=x³+x−1 e v(x)=sen(4x). Pela regra do produto, temos g′(x)=u′(x)·v(x)+u(x)·v′(x).

Passo 3

Calculando as derivadas de cada parte: u′(x)=3x²+1 e, usando cadeia, v′(x)=4·cos(4x).

Passo 4

Substituindo em g′(x) obtemos:
g(x)=(3x²+1),sen(4x)+4,(x³+x−1),cos(4x)²³

Passo 5

Agora basta avaliar o limite quando x→0. Como sen(0)=0 e cos(0)=1, o primeiro termo some e o segundo fica 4·(0+0−1)·1=−4.

Resposta

-4

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