Seja F(t)=f(e^t^2, sin t), onde f(x, y) é uma função diferenciável dada. Expresse F^prime(t) em termos das derivadas parciais de f. Calcule f^prime(0) supondo fy(1,0)=5.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ F(t) = f\left(e{t{2}}, \sin t\right) $. Nosso objetivo aqui é descobrir como calcular a derivada de $ F $ em relação a $ t $, usando as derivadas parciais de $ f $. Depois, vamos calcular o valor dessa derivada quando $ t = 0 $, sabendo que $ f_y(1,0) = 5 $. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que $ F(t) $ é uma composição de funções. Tem $ e{t{2}} $ e $ \sin t $ dentro de $ f $. Para encontrar $ F’(t) $, que é a derivada de $ F $ em relação a $ t $, vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 3

A regra da cadeia para funções de duas variáveis diz que se $ F(t) = f(u(t), v(t)) $, então a derivada de $ F $ em relação a $ t $ é:
F(t) = f(u(t), v(t))
Aqui, $ f_x $ e $ f_y $ são as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $, respectivamente.

Passo 4

No nosso caso, $ u(t) = e{t{2}} $ e $ v(t) = \sin t $. Vamos calcular as derivadas $ u’(t) $ e $ v’(t) $:
u(t) = e^t^2
v(t) = sin t

Passo 5

Substituindo essas derivadas na fórmula da regra da cadeia, temos:
F'(t) = fx(e^t^2, sin t) cdot e^t^2 cdot 2t + fy(e^t^2, sin t) cdot cos t
Isso expressa $ F’(t) $ em termos das derivadas parciais de $ f $.

Passo 6

Agora, vamos calcular $ F’(0) $. Primeiro, substituímos $ t = 0 $ nas expressões:
F'(0)
t = 0
Também calculamos $ u’(0) $ e $ v’(0) $:
u(0) = e^0^2 = e^0 = 1
v(0) = sin 0 = 0

Passo 7

Substituindo esses valores na expressão de $ F’(t) $:
F'(t)
Como sabemos que $ f_y(1, 0) = 5 $, então:
F'(0) = fx(1, 0) cdot 0 + fy(1, 0) cdot 1 = 0 + fy(1, 0)

Resposta

$ F’(0) = 5 $

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