Seja
, onde
é uma função diferenciável dada. Expresse
em termos das derivadas parciais de
. Calcule
supondo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ F(t) = f\left(e{t{2}}, \sin t\right) $. Nosso objetivo aqui é descobrir como calcular a derivada de $ F $ em relação a $ t $, usando as derivadas parciais de $ f $. Depois, vamos calcular o valor dessa derivada quando $ t = 0 $, sabendo que $ f_y(1,0) = 5 $. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre a regra da cadeia para funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que $ F(t) $ é uma composição de funções. Tem $ e{t{2}} $ e $ \sin t $ dentro de $ f $. Para encontrar $ F’(t) $, que é a derivada de $ F $ em relação a $ t $, vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos ajuda a derivar funções compostas.
Passo 3
A regra da cadeia para funções de duas variáveis diz que se $ F(t) = f(u(t), v(t)) $, então a derivada de $ F $ em relação a $ t $ é:
Aqui, $ f_x $ e $ f_y $ são as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $, respectivamente.
Passo 4
No nosso caso, $ u(t) = e{t{2}} $ e $ v(t) = \sin t $. Vamos calcular as derivadas $ u’(t) $ e $ v’(t) $:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na fórmula da regra da cadeia, temos:
Isso expressa $ F’(t) $ em termos das derivadas parciais de $ f $.
Passo 6
Agora, vamos calcular $ F’(0) $. Primeiro, substituímos $ t = 0 $ nas expressões:
Também calculamos $ u’(0) $ e $ v’(0) $:
Passo 7
Substituindo esses valores na expressão de $ F’(t) $:
Como sabemos que $ f_y(1, 0) = 5 $, então:
Resposta
$ F’(0) = 5 $