Considere a função: f(x)=4 xx^2-1
Identifique os pontos de inflexão da função f e os intervalos de concavidade para cima e para baixo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x) = \frac{4x}{x^2 - 1} $ e precisa descobrir onde ela tem pontos de inflexão e em quais intervalos ela é côncava para cima ou para baixo. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo diferencial, especificamente derivadas, já que os pontos de inflexão estão relacionados às mudanças na concavidade da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função $ f(x) $. A derivada nos ajuda a entender o comportamento da função, como onde ela está aumentando ou diminuindo. Para derivar $ f(x) = \frac{4x}{x^2 - 1} $, usamos a regra do quociente:
f(x)

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada $ f’’(x) $, que nos vai dizer sobre a concavidade da função. Para isso, derivamos $ f’(x) $:
f''(x)
Usando a regra do quociente novamente:
f'(x)
Simplificando isso (fazendo as contas passo a passo):
f'(x) = -4(x^2 + 1)(x^2 - 1)^2
f''(x) = -4 cdot (2x)(x^2 - 1)^2 - (-4)(x^2 + 1) cdot 2(x^2 - 1)(2x)(x^2 - 1)^4

Passo 4

Vamos encontrar os pontos de inflexão resolvendo $ f’’(x) = 0 $:
f''(x) = 0
Isso nos dá duas soluções:
  1. $ x = 0 $
  2. $ x^4 - 2x^2 -1 = 0 $
Resolvendo a segunda equação, fazemos uma substituição $ y = x^2 $:
8x(x^4 - 2x^2 -1) = 0
x = 0
Como $ y = x^2 $, temos:
x^4 - 2x^2 -1 = 0
Mas $ 1 - \sqrt{2} $ é negativo, e não tem raiz real, então as soluções reais são:
y = x^2

Passo 5

Agora, vamos analisar a concavidade em cada intervalo determinado pelos pontos de inflexão encontrados. Para isso, escolhemos valores de $ x $ em cada intervalo e verificamos o sinal de $ f’’(x) $:
  1. Intervalo $ (-\infty, -\sqrt{1 + \sqrt{2}}) $: Escolha $ x = -2 $
  2. Intervalo $ (-\sqrt{1 + \sqrt{2}}, 0) $: Escolha $ x = -1 $
  3. Intervalo $ (0, \sqrt{1 + \sqrt{2}}) $: Escolha $ x = 1 $
  4. Intervalo $ (\sqrt{1 + \sqrt{2}}, +\infty) $: Escolha $ x = 2 $
Calculando $ f’’(x) $ para cada valor:
  1. Para $ x = -2 $, $ f’’(x) > 0 $ → Concavidade para cima
  2. Para $ x = -1 $, $ f’’(x) < 0 $ → Concavidade para baixo
  3. Para $ x = 1 $, $ f’’(x) < 0 $ → Concavidade para baixo
  4. Para $ x = 2 $, $ f’’(x) > 0 $ → Concavidade para cima

Resposta

Os pontos de inflexão da função $ f(x) = \frac{4x}{x^2 - 1} $ são $ x = 0 $ e $ x = \pm \sqrt{1 + \sqrt{2}} $.
A concavidade da função é para cima nos intervalos $ (-\infty, -\sqrt{1 + \sqrt{2}}) $ e $ (\sqrt{1 + \sqrt{2}}, +\infty) $, e para baixo nos intervalos $ (-\sqrt{1 + \sqrt{2}}, 0) $ e $ (0, \sqrt{1 + \sqrt{2}}) $.

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