Considere a função:
Identifique os pontos de inflexão da função
e os intervalos de concavidade para cima e para baixo.
Identifique os pontos de inflexão da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x) = \frac{4x}{x^2 - 1} $ e precisa descobrir onde ela tem pontos de inflexão e em quais intervalos ela é côncava para cima ou para baixo. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo diferencial, especificamente derivadas, já que os pontos de inflexão estão relacionados às mudanças na concavidade da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função $ f(x) $. A derivada nos ajuda a entender o comportamento da função, como onde ela está aumentando ou diminuindo. Para derivar $ f(x) = \frac{4x}{x^2 - 1} $, usamos a regra do quociente:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada $ f’’(x) $, que nos vai dizer sobre a concavidade da função. Para isso, derivamos $ f’(x) $:
Usando a regra do quociente novamente:
Simplificando isso (fazendo as contas passo a passo):
Passo 4
Vamos encontrar os pontos de inflexão resolvendo $ f’’(x) = 0 $:
Isso nos dá duas soluções:
- $ x = 0 $
- $ x^4 - 2x^2 -1 = 0 $
Resolvendo a segunda equação, fazemos uma substituição $ y = x^2 $:
Como $ y = x^2 $, temos:
Mas $ 1 - \sqrt{2} $ é negativo, e não tem raiz real, então as soluções reais são:
Passo 5
Agora, vamos analisar a concavidade em cada intervalo determinado pelos pontos de inflexão encontrados. Para isso, escolhemos valores de $ x $ em cada intervalo e verificamos o sinal de $ f’’(x) $:
- Intervalo $ (-\infty, -\sqrt{1 + \sqrt{2}}) $: Escolha $ x = -2 $
- Intervalo $ (-\sqrt{1 + \sqrt{2}}, 0) $: Escolha $ x = -1 $
- Intervalo $ (0, \sqrt{1 + \sqrt{2}}) $: Escolha $ x = 1 $
- Intervalo $ (\sqrt{1 + \sqrt{2}}, +\infty) $: Escolha $ x = 2 $
Calculando $ f’’(x) $ para cada valor:
- Para $ x = -2 $, $ f’’(x) > 0 $ → Concavidade para cima
- Para $ x = -1 $, $ f’’(x) < 0 $ → Concavidade para baixo
- Para $ x = 1 $, $ f’’(x) < 0 $ → Concavidade para baixo
- Para $ x = 2 $, $ f’’(x) > 0 $ → Concavidade para cima
Resposta
Os pontos de inflexão da função $ f(x) = \frac{4x}{x^2 - 1} $ são $ x = 0 $ e $ x = \pm \sqrt{1 + \sqrt{2}} $.
A concavidade da função é para cima nos intervalos $ (-\infty, -\sqrt{1 + \sqrt{2}}) $ e $ (\sqrt{1 + \sqrt{2}}, +\infty) $, e para baixo nos intervalos $ (-\sqrt{1 + \sqrt{2}}, 0) $ e $ (0, \sqrt{1 + \sqrt{2}}) $.