Considere a superfície dada implicitamente por
x^2+2 y^2+2 z^2=-4 x y z
Determine as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que descreve uma superfície:
x^2 + 2 y^2 + 2 z^2 = -4 x y z
O conteúdo que vamos usar aqui é derivadas parciais e diferenciação implícita. Precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e a , ou seja, e .

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a diferenciação. Vamos mover tudo para um lado:
x^2 + 2 y^2 + 2 z^2 + 4 x y z = 0

Passo 3

Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação com relação a 2x + 0 + 4 z partial zpartial x + 4 y z + 4 x y partial zpartial x = 0 , tratando como constante e lembrando que também depende de . Usamos a diferenciação implícita aqui.
Diferenciando cada termo:
  • Derivada de em relação a é .
  • Derivada de em relação a é (porque é constante).
  • Derivada de em relação a é (usando a regra da cadeia).
  • Derivada de em relação a é (produto de e ).
Então, temos:

Passo 4

Vamos agrupar os termos com (4 z + 4 x y) partial zpartial x + 2x + 4 y z = 0 :
partial zpartial x = -2x + 4 y z4 z + 4 x y
Agora, isolamos partial zpartial x = -x + 2 y z2 z + 2 x y :
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 2:

Passo 5

Agora, fazemos o mesmo processo para encontrar 0 + 4y + 4 z partial zpartial y + 4 x z + 4 x y partial zpartial y = 0 . Diferenciando a equação original com relação a :
Diferenciando cada termo:
  • Derivada de em relação a é .
  • Derivada de em relação a é .
  • Derivada de em relação a é .
  • Derivada de em relação a é .
Então, temos:

Passo 6

Agrupando os termos com (4 z + 4 x y) partial zpartial y + 4 y + 4 x z = 0 :
partial zpartial y = -4 y + 4 x z4 z + 4 x y
Isolando partial zpartial y = -y + x zz + x y :
Simplificando dividindo numerador e denominador por 4:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = -x + 2 y z2 z + 2 x y
e
partial zpartial y = -y + x zz + x y

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