Considere a superfície dada implicitamente por
Determine as derivadas parciais
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação que descreve uma superfície:
O conteúdo que vamos usar aqui é derivadas parciais e diferenciação implícita. Precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e a
, ou seja,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a diferenciação. Vamos mover tudo para um lado:
Passo 3
Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação com relação a
, tratando
como constante e lembrando que
também depende de
. Usamos a diferenciação implícita aqui.
Diferenciando cada termo:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é (porque é constante). - Derivada de
em relação a é (usando a regra da cadeia). - Derivada de
em relação a é (produto de e ).
Então, temos:
Passo 4
Vamos agrupar os termos com
:
Agora, isolamos
:
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 2:
Passo 5
Agora, fazemos o mesmo processo para encontrar
. Diferenciando a equação original com relação a
:
Diferenciando cada termo:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Então, temos:
Passo 6
Agrupando os termos com
:
Isolando
:
Simplificando dividindo numerador e denominador por 4:
Resposta
As derivadas parciais são:
e