Considere a superfície dada implicitamente por
Determine o domínio das funções
e
calculadas no item anterior.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão que temos é sobre uma superfície definida pela equação
. O nosso objetivo aqui é determinar o domínio das funções das derivadas parciais
e
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas implícitas, que nos ajuda a encontrar como uma variável muda em relação a outra quando elas estão todas misturadas em uma equação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são derivadas parciais. Elas medem a taxa de variação de uma função em relação a uma de suas variáveis, mantendo as outras constantes. No nosso caso, queremos saber como
muda em relação a
e a
, respectivamente.
Para encontrar
e
, precisamos diferenciar implicitamente a equação dada em relação a
e
. Isso significa que vamos tratar
como uma função de
e
.
Passo 3
Vamos começar calculando
. Diferenciando ambos os lados da equação em relação a
:
Simplificando:
Agora, vamos isolar
:
Fatorando
:
Finalmente:
Passo 4
Agora, vamos calcular
seguindo um processo similar:
Simplificando:
Isolando
:
Fatorando:
Finalmente:
Passo 5
Agora que temos as expressões para as derivadas parciais, precisamos determinar onde elas são definidas, ou seja, seus domínios. Olhando para
e
, percebemos que os denominadores são
e
, respectivamente.
Para as frações serem válidas, esses denominadores não podem ser zero. Portanto, as condições para o domínio são:
-
(para evitar divisão por zero) -
ou seja,
Resposta
O domínio das funções
e
é o conjunto de todos os pontos
na superfície definida por
onde
e
.