Considere a superfície dada implicitamente por
x^2+2 y^2+2 z^2=-4 x y z
Determine o domínio das funções partial zpartial x e partial zpartial y calculadas no item anterior.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão que temos é sobre uma superfície definida pela equação . O nosso objetivo aqui é determinar o domínio das funções das derivadas parciais e . Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas implícitas, que nos ajuda a encontrar como uma variável muda em relação a outra quando elas estão todas misturadas em uma equação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são derivadas parciais. Elas medem a taxa de variação de uma função em relação a uma de suas variáveis, mantendo as outras constantes. No nosso caso, queremos saber como muda em relação a e a , respectivamente.
Para encontrar e , precisamos diferenciar implicitamente a equação dada em relação a e . Isso significa que vamos tratar como uma função de e .

Passo 3

Vamos começar calculando ddx(x^2) + 2ddx(y^2) + 2ddx(z^2) = ddx(-4xyz) . Diferenciando ambos os lados da equação em relação a 2x + 0 + 4zpartial zpartial x = -4y z - 4x y partial zpartial x :
4zpartial zpartial x + 4xypartial zpartial x = -4yz - 2x
Simplificando:
partial zpartial x(4z + 4xy) = -4yz - 2x
Agora, vamos isolar partial zpartial x = -4yz - 2x4z + 4xy = -2x - 4yz 4z(1 + x y) = -2(x + 2yz) 4z(1 + x y) = - (x + 2yz) 2z(1 + x y) :
Fatorando :
Finalmente:

Passo 4

Agora, vamos calcular ddy(x^2) + 2ddy(y^2) + 2ddy(z^2) = ddy(-4xyz) seguindo um processo similar:
0 + 4y + 4zpartial zpartial y = -4xz - 4x y partial zpartial y
Simplificando:
4zpartial zpartial y + 4xypartial zpartial y = -4xz - 4y
Isolando partial zpartial y(4z + 4xy) = -4xz - 4y :
partial zpartial y = -4xz - 4y 4z + 4xy = -4(xz + y) 4z(1 + x y) = - (xz + y) z(1 + x y)
Fatorando:
Finalmente:

Passo 5

Agora que temos as expressões para as derivadas parciais, precisamos determinar onde elas são definidas, ou seja, seus domínios. Olhando para e , percebemos que os denominadores são e , respectivamente.
Para as frações serem válidas, esses denominadores não podem ser zero. Portanto, as condições para o domínio são:
  1. (para evitar divisão por zero)
  2. ou seja,

Resposta

O domínio das funções e é o conjunto de todos os pontos na superfície definida por onde e .

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