1. Considere a função
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{3}+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\ k^{2}-3, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}
a)(Valor 1.0) Sabendo que \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y) existe, encontre esse limite.
b)(Valor 1.0) Encontre os valores de k, para os quais a função dada seja continua em (0,0).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^3+y^3}{x^2+y^2},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[0.5em] k^2-3,&\text{se }(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede:
  1. O valor de \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y), admitindo que ele exista.
  2. Os valores de k que tornam f contínua em (0,0).
Para resolver, vamos usar o Teorema do Confronto (Squeeze) em duas variáveis e, depois, igualar o valor de f(0,0) ao limite encontrado.]

Passo 2

Para aplicar o Teorema do Confronto, note que
\bigl|x^3+y^3\bigr|\;\le\;|x|^3+|y|^3.
Além disso, pela desigualdade entre normas em \mathbb{R}^2,
|x|^3+|y|^3 \le \bigl(x^2+y^2\bigr)^{\frac32}.
Portanto,
\bigl|f(x,y)\bigr| =\frac{|x^3+y^3|}{x^2+y^2} \le \frac{(x^2+y^2)^{3/2}}{x^2+y^2} =(x^2+y^2)^{1/2}.

Passo 3

Como (x^2+y^2)^{1/2}\to0 quando (x,y)\to(0,0), pelo Teorema do Confronto segue que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.

Passo 4

Para f ser contínua em (0,0), é necessário que
f(0,0)=k^2-3
seja igual ao limite que acabamos de encontrar, isto é,
k^2-3=0 \quad\Longrightarrow\quad k^2=3 \quad\Longrightarrow\quad k=\pm\sqrt{3}.

Resposta

a) \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.
b) A função é contínua em (0,0) se, e somente se, k=\pm\sqrt{3}.

Exercícios relacionados