Considere a superfície z=2 x^{2}+5 y^{2} x-12 x.
a) (Valor 1) Encontrar a inclinação da reta tangente à curva resultante da interseção de z=f(x, y) \operatorname{com} x=2, no ponto (2,1,-6).
b)(Valor 1) Determinar a equação da reta tangente à curva de interseção da superfície com o plano x=2, no ponto P(2,1,-6).

Passo 1

O enunciado dá a superfície
z = 2x^{2} + 5y^{2}x - 12x
e pede a reta tangente à curva de interseção com o plano x=2 no ponto P(2,1,-6). Vamos parametrizar essa curva usando y como parâmetro e calcular sua derivada para achar a inclinação e, em seguida, a equação da reta.

Passo 2

Como x=2 é constante, definimos a curva de interseção por
\mathbf{r}(y) = \bigl(2,\;y,\;f(2,y)\bigr)
e calculamos
f(2,y) = 2\cdot 2^{2} + 5y^{2}\cdot 2 - 12\cdot 2 = 8 + 10y^{2} - 24 = 10y^{2} - 16.
Logo
\mathbf{r}(y) = \bigl(2,\;y,\;10y^{2}-16\bigr).

Passo 3

Para obter o vetor tangente, derivamos em relação a y:
\mathbf{r}'(y) = \bigl(0,\;1,\;\tfrac{d}{dy}(10y^{2}-16)\bigr) = \bigl(0,\;1,\;20y\bigr).
No ponto y=1, temos
\mathbf{r}'(1) = (0,\;1,\;20).

Passo 4

A inclinação da reta tangente no plano x=2 é dada por
\frac{dz}{dy}\Big|_{y=1} = 20.

Passo 5

O vetor diretor da reta tangente é \bigl(0,1,20\bigr)\). Assim, a equação paramétrica da reta passando por \(P(2,1,-6)\) é \[\begin{cases} x = 2,\\\ y = 1 + t,\\\ z = -6 + 20\,t, \end{cases}
onde (t] é o parâmetro.

Resposta

a) A inclinação da reta tangente é 20.
b) A reta tangente tem equação
x = 2,\quad y = 1 + t,\quad z = -6 + 20\,t.

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