Considere a superfície z=2 x^{2}+5 y^{2} x-12 x.
a) (Valor 1) Encontrar a inclinação da reta tangente à curva resultante da interseção de z=f(x, y) \operatorname{com} x=2, no ponto (2,1,-6).
b)(Valor 1) Determinar a equação da reta tangente à curva de interseção da superfície com o plano x=2, no ponto P(2,1,-6).
Passo 1
O enunciado dá a superfície
z = 2x^{2} + 5y^{2}x - 12x
e pede a reta tangente à curva de interseção com o plano x=2 no ponto P(2,1,-6). Vamos parametrizar essa curva usando y como parâmetro e calcular sua derivada para achar a inclinação e, em seguida, a equação da reta.
Passo 2
Como x=2 é constante, definimos a curva de interseção por
A inclinação da reta tangente no plano x=2 é dada por
\frac{dz}{dy}\Big|_{y=1} = 20.
Passo 5
O vetor diretor da reta tangente é \bigl(0,1,20\bigr)\). Assim, a equação paramétrica da reta passando por \(P(2,1,-6)\) é
\[\begin{cases} x = 2,\\\ y = 1 + t,\\\ z = -6 + 20\,t, \end{cases}
onde (t] é o parâmetro.
Resposta
a) A inclinação da reta tangente é 20.
b) A reta tangente tem equação