1. (Valor 1,5) Encontre \lim _{(x, y) \rightarrow(-1,2)} \frac{(x+1)\left(y^{2}-5 \sqrt{y}+6\right)}{\left(x^{2}-2 x-3\right)(y-2)}

Passo 1

O enunciado pede \displaystyle \lim_{(x,y)\to(-1,2)} \frac{(x+1)\bigl(y^{2}-5\sqrt{y}+6\bigr)}{\bigl(x^{2}-2x-3\bigr)(y-2)}.
Estamos diante de um limite de duas variáveis que, ao substituir direto (x,y)=(-1,2), dá 0/0. Para resolver, vamos fatorar e simplificar para eliminar essa indeterminação.

Passo 2

Observe que
x^{2}-2x-3 = (x+1)(x-3).
Logo o denominador original é
(x^{2}-2x-3)(y-2)=(x+1)(x-3)(y-2).
Podemos então cancelar o fator (x+1) que também aparece no numerador, desde que (x,y)\neq(-1,2).

Passo 3

Após o cancelamento, a função fica
\frac{(y^{2}-5\sqrt{y}+6)}{(x-3)(y-2)}.
Ao levar (x,y)\to(-1,2):
  • O numerador tende a
y^{2}-5\sqrt{y}+6\bigl|_{y=2} =4-5\sqrt{2}+6=10-5\sqrt{2}\neq0.
  • O denominador tende a
(x-3)(y-2)\bigl|_{(x,y)=(-1,2)} =(-4)\cdot0=0.
Como o numerador não zera mas o denominador vai a zero, a expressão fica “um número não nulo dividido por algo que tende a zero”, ou seja, diverge em módulo.

Passo 4

O sinal dessa divergência depende de como y se aproxima de 2:
  • Se y\to2^+, então y-2>0 e (x-3)\to-4<0, logo o quociente \to -\infty.
  • Se y\to2^-, então y-2<0 e (x-3)\to-4<0, logo o quociente \to +\infty.
    Não há um valor único (nem mesmo \pm\infty de sinal fixo), portanto o limite não existe.

Resposta

O limite não existe (a expressão diverge).

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