O enunciado pede \displaystyle \lim_{(x,y)\to(-1,2)} \frac{(x+1)\bigl(y^{2}-5\sqrt{y}+6\bigr)}{\bigl(x^{2}-2x-3\bigr)(y-2)}.
Estamos diante de um limite de duas variáveis que, ao substituir direto (x,y)=(-1,2), dá 0/0. Para resolver, vamos fatorar e simplificar para eliminar essa indeterminação.
Passo 2
Observe que
x^{2}-2x-3 = (x+1)(x-3).
Logo o denominador original é
(x^{2}-2x-3)(y-2)=(x+1)(x-3)(y-2).
Podemos então cancelar o fator (x+1) que também aparece no numerador, desde que (x,y)\neq(-1,2).
Como o numerador não zera mas o denominador vai a zero, a expressão fica “um número não nulo dividido por algo que tende a zero”, ou seja, diverge em módulo.
Passo 4
O sinal dessa divergência depende de como y se aproxima de 2:
Se y\to2^+, então y-2>0 e (x-3)\to-4<0, logo o quociente \to -\infty.
Se y\to2^-, então y-2<0 e (x-3)\to-4<0, logo o quociente \to +\infty.
Não há um valor único (nem mesmo \pm\infty de sinal fixo), portanto o limite não existe.