★ Considere a função dada por z=x sen \left(\frac{x}{y}\right). Verifique que
x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=z .

Passo 1

O enunciado nos dá a função \displaystyle z=x\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{y}\right) e pede para verificar a identidade
x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=z.
Informações fornecidas:
  • A função é \displaystyle z(x,y)=x\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{y}\right).
  • A tarefa é calcular as derivadas parciais \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} e \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} e mostrar que, ao formar x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}, obtém-se exatamente z.

Passo 2

Relembrando as regras que vamos usar (explicadas devagarinho):
  • Regra do produto: se \displaystyle f(x,y)=u(x,y)\,v(x,y) então
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}\,v+u\,\frac{\partial v}{\partial x}.
Aqui u e v são funções de x e y.
  • Regra da cadeia: se \displaystyle g(x,y)=h(\varphi(x,y)) então
\frac{\partial g}{\partial x}=h'(\varphi(x,y))\cdot\frac{\partial \varphi}{\partial x},
onde h' é a derivada de h em relação ao seu argumento.
No nosso caso, h(t)=\operatorname{sen} t tem h'(t)=\cos t.
Aplicaremos essas regras com calma ao calcular as parciais de z.

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}.
Identificamos u(x,y)=x e v(x,y)=\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{x}{y}\right). Pela regra do produto,
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\big(x\big)\cdot \operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{y}\right) + x\cdot\frac{\partial }{\partial x}\left[\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{y}\right)\right].
A primeira parte é simples: \dfrac{\partial}{\partial x}(x)=1, então o primeiro termo é \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{x}{y}\right).
No segundo termo usamos a regra da cadeia: com h(t)=\operatorname{sen} t e \varphi(x,y)=\dfrac{x}{y},
\frac{\partial }{\partial x}\left[\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{y}\right)\right] =\cos\!\left(\frac{x}{y}\right)\cdot\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{x}{y}\right).
Como y é tratado como constante ao derivar em relação a x, tem-se
\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{1}{y}.
Portanto
\frac{\partial z}{\partial x}=\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{y}\right)+x\cdot\cos\!\left(\frac{x}{y}\right)\cdot\frac{1}{y} =\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{y}\right)+\frac{x}{y}\cos\!\left(\frac{x}{y}\right).

Passo 4

Calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}.
Novamente z=x\cdot\operatorname{sen}\!\left(\dfrac{x}{y}\right). Agora ao derivar em relação a y o fator x é constante, então pela regra do produto o termo vindo de \dfrac{\partial}{\partial y}(x) some e resta
\frac{\partial z}{\partial y}=x\cdot\frac{\partial }{\partial y}\left[\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{y}\right)\right].
Usando a regra da cadeia com \varphi(x,y)=\dfrac{x}{y},
\frac{\partial }{\partial y}\left[\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{y}\right)\right] =\cos\!\left(\frac{x}{y}\right)\cdot\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{x}{y}\right).
Agora x é constante e \dfrac{x}{y}=x\cdot y^{-1}, então
\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{x}{y}\right)=x\cdot\frac{\partial }{\partial y}\big(y^{-1}\big) =x\cdot(-1)y^{-2}=-\frac{x}{y^{2}}.
Portanto
\frac{\partial z}{\partial y}=x\cdot\cos\!\left(\frac{x}{y}\right)\cdot\left(-\frac{x}{y^{2}}\right) =-\frac{x^{2}}{y^{2}}\cos\!\left(\frac{x}{y}\right).

Passo 5

Agora formamos a combinação pedida e simplificamos passo a passo:
x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y} =x\left[\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{y}\right)+\frac{x}{y}\cos\!\left(\frac{x}{y}\right)\right] +y\left[-\frac{x^{2}}{y^{2}}\cos\!\left(\frac{x}{y}\right)\right].
Distribuindo os fatores:
x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y} = x\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{y}\right)+\frac{x^{2}}{y}\cos\!\left(\frac{x}{y}\right) -\frac{y x^{2}}{y^{2}}\cos\!\left(\frac{x}{y}\right).
Observe que \dfrac{y x^{2}}{y^{2}}=\dfrac{x^{2}}{y}, então os dois termos com \cos são iguais em módulo e se anulam:
\frac{x^{2}}{y}\cos\!\left(\frac{x}{y}\right)-\frac{x^{2}}{y}\cos\!\left(\frac{x}{y}\right)=0.
Sobrou apenas
x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=x\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{y}\right).
E como \displaystyle z=x\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{y}\right), concluímos que
x\frac{\partial z}{\partial x}+y\frac{\partial z}{\partial y}=z,
conforme pedido.

Passo 6

Comentário extra (útil para prova): uma maneira rápida e elegante de ver isso é notar que \displaystyle z(x,y)=x\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{y}\right) é homogênea de grau 1, porque para todo t
z(tx,ty)=tx\operatorname{sen}\!\left(\frac{tx}{ty}\right)=tx\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{y}\right)=t\,z(x,y).
Pelo teorema de Euler para funções homogêneas, isso implica \displaystyle xz_x+yz_y=1\cdot z. Mas mesmo se não lembrar desse teorema, a conta direta feita acima é simples e segura na prova.

Resposta

x \dfrac{\partial z}{\partial x}+y \dfrac{\partial z}{\partial y}=z

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