★ Considere a função dada por
sen
. Verifique que
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para verificar a identidade
Informações fornecidas:
- A função é
. - A tarefa é calcular as derivadas parciais
e e mostrar que, ao formar , obtém-se exatamente .
Passo 2
Relembrando as regras que vamos usar (explicadas devagarinho):
- Regra do produto: se
então
Aqui
e
são funções de
e
.
- Regra da cadeia: se
então
onde
é a derivada de
em relação ao seu argumento.
No nosso caso, tem
.
Aplicaremos essas regras com calma ao calcular as parciais de .
No nosso caso,
Aplicaremos essas regras com calma ao calcular as parciais de
Passo 3
Calcular
.
Identificamos e
. Pela regra do produto,
Identificamos
A primeira parte é simples:
, então o primeiro termo é
.
No segundo termo usamos a regra da cadeia: com e
,
No segundo termo usamos a regra da cadeia: com
Como
é tratado como constante ao derivar em relação a
, tem-se
Portanto
Passo 4
Calcular
.
Novamente . Agora ao derivar em relação a
o fator
é constante, então pela regra do produto o termo vindo de
some e resta
Novamente
Usando a regra da cadeia com
,
Agora
é constante e
, então
Portanto
Passo 5
Agora formamos a combinação pedida e simplificamos passo a passo:
Distribuindo os fatores:
Observe que
, então os dois termos com
são iguais em módulo e se anulam:
Sobrou apenas
E como
, concluímos que
conforme pedido.
Passo 6
Comentário extra (útil para prova): uma maneira rápida e elegante de ver isso é notar que
é homogênea de grau
, porque para todo
Pelo teorema de Euler para funções homogêneas, isso implica
. Mas mesmo se não lembrar desse teorema, a conta direta feita acima é simples e segura na prova.