Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
Y=w \operatorname{tg}^{-1}(u v), u=r+s, v=s+t ; w=t+r \frac{\partial Y}{\partial r}, \frac{\partial Y}{\partial s}, \frac{\partial Y}{\partial t}
quando r=1, s=0, t=1.

Passo 1

Vou listar o que o enunciado nos deu e o que ele pede (sem ainda começar a resolver).
  • A função está definida por Y = w\,\tan^{-1}(u v).
  • As funções internas são u = r + s, v = s + t e w = t + r.
  • Precisamos calcular as derivadas parciais
    \dfrac{\partial Y}{\partial r}, \dfrac{\partial Y}{\partial s} e \dfrac{\partial Y}{\partial t}
    no ponto r=1,\; s=0,\; t=1.

Passo 2

Vamos anotar as derivadas parciais simples das funções internas (essas são fáceis e serão usadas várias vezes).
  • Como u = r + s, \frac{\partial u}{\partial r}=1,\qquad \frac{\partial u}{\partial s}=1,\qquad \frac{\partial u}{\partial t}=0.
  • Como v = s + t, \frac{\partial v}{\partial r}=0,\qquad \frac{\partial v}{\partial s}=1,\qquad \frac{\partial v}{\partial t}=1.
  • Como w = t + r, \frac{\partial w}{\partial r}=1,\qquad \frac{\partial w}{\partial s}=0,\qquad \frac{\partial w}{\partial t}=1.

Passo 3

Vamos lembrar duas regras que vamos usar (explicadinhas):
  • Regra do produto: se Y=w\cdot A com w e A função das variáveis, então \frac{\partial Y}{\partial x}=\frac{\partial w}{\partial x}\,A + w\,\frac{\partial A}{\partial x}.Aqui x pode ser r, s ou t.
  • Regra da cadeia (para o arco-tangente): se A=\tan^{-1}(z) então \frac{dA}{dz}=\frac{1}{1+z^{2}}.Assim, para A=\tan^{-1}(u v), \frac{\partial A}{\partial x}=\frac{1}{1+(u v)^{2}}\cdot\frac{\partial (u v)}{\partial x},e usando a regra do produto para u v, \frac{\partial (u v)}{\partial x}=v\,\frac{\partial u}{\partial x}+u\,\frac{\partial v}{\partial x}.

Passo 4

Agora montamos a expressão geral para \dfrac{\partial Y}{\partial r}.
Aplicando a regra do produto com A=\tan^{-1}(u v):
\frac{\partial Y}{\partial r}=\frac{\partial w}{\partial r}\,\tan^{-1}(u v) + w\cdot\frac{\partial}{\partial r}\big(\tan^{-1}(u v)\big).
Pela regra da cadeia e do produto (para u v):
\frac{\partial}{\partial r}\big(\tan^{-1}(u v)\big) =\frac{1}{1+(u v)^{2}}\big(v\,\frac{\partial u}{\partial r}+u\,\frac{\partial v}{\partial r}\big).
Usando os resultados do Passo 2 ( \frac{\partial u}{\partial r}=1, \frac{\partial v}{\partial r}=0, \frac{\partial w}{\partial r}=1):
\frac{\partial Y}{\partial r}=\tan^{-1}(u v)+w\cdot\frac{v}{1+(u v)^{2}}.

Passo 5

Agora \dfrac{\partial Y}{\partial t}. Mesma ideia (produto + cadeia):
\frac{\partial Y}{\partial t}=\frac{\partial w}{\partial t}\,\tan^{-1}(u v) + w\cdot\frac{\partial}{\partial t}\big(\tan^{-1}(u v)\big).
Pela cadeia:
\frac{\partial}{\partial t}\big(\tan^{-1}(u v)\big) =\frac{1}{1+(u v)^{2}}\big(v\,\frac{\partial u}{\partial t}+u\,\frac{\partial v}{\partial t}\big).
Usando do Passo 2 ( \frac{\partial u}{\partial t}=0, \frac{\partial v}{\partial t}=1, \frac{\partial w}{\partial t}=1):
\frac{\partial Y}{\partial t}=\tan^{-1}(u v)+w\cdot\frac{u}{1+(u v)^{2}}.

Passo 6

Agora \dfrac{\partial Y}{\partial s}. Aqui \frac{\partial w}{\partial s}=0, então só vem a parte da A:
\frac{\partial Y}{\partial s}=w\cdot\frac{\partial}{\partial s}\big(\tan^{-1}(u v)\big) = w\cdot\frac{1}{1+(u v)^{2}}\big(v\,\frac{\partial u}{\partial s}+u\,\frac{\partial v}{\partial s}\big).
Como \frac{\partial u}{\partial s}=1 e \frac{\partial v}{\partial s}=1,
\frac{\partial Y}{\partial s}=w\cdot\frac{u+v}{1+(u v)^{2}}.

Passo 7

Agora vamos avaliar tudo no ponto r=1,\; s=0,\; t=1. Primeiro calculamos u,v,w e u v:
u=r+s=1+0=1,\qquad v=s+t=0+1=1,\qquad w=t+r=1+1=2.
Logo u v=1 e
\tan^{-1}(u v)=\tan^{-1}(1)=\frac{\pi}{4},\qquad 1+(u v)^{2}=1+1=2.

Passo 8

Substituímos esses números nas fórmulas obtidas:
  • Para \dfrac{\partial Y}{\partial r}: \frac{\partial Y}{\partial r}=\tan^{-1}(u v)+w\cdot\frac{v}{1+(u v)^{2}} =\frac{\pi}{4}+2\cdot\frac{1}{2}=\frac{\pi}{4}+1.
  • Para \dfrac{\partial Y}{\partial t}: \frac{\partial Y}{\partial t}=\tan^{-1}(u v)+w\cdot\frac{u}{1+(u v)^{2}} =\frac{\pi}{4}+2\cdot\frac{1}{2}=\frac{\pi}{4}+1.
  • Para \dfrac{\partial Y}{\partial s}: \frac{\partial Y}{\partial s}=w\cdot\frac{u+v}{1+(u v)^{2}} =2\cdot\frac{1+1}{2}=2.

Resposta

\dfrac{\partial Y}{\partial r}\bigg|_{(1,0,1)}=\dfrac{\pi}{4}+1
\dfrac{\partial Y}{\partial s}\bigg|_{(1,0,1)}=2
\dfrac{\partial Y}{\partial t}\bigg|_{(1,0,1)}=\dfrac{\pi}{4}+1

Exercícios relacionados