Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
quando
.
quando
Passo 1
Vou listar o que o enunciado nos deu e o que ele pede (sem ainda começar a resolver).
- A função está definida por
. - As funções internas são
, e . - Precisamos calcular as derivadas parciais
, e
no ponto.
Passo 2
Vamos anotar as derivadas parciais simples das funções internas (essas são fáceis e serão usadas várias vezes).
- Como
, - Como
, - Como
,
Passo 3
Vamos lembrar duas regras que vamos usar (explicadinhas):
- Regra do produto: se
com e função das variáveis, então Aqui pode ser , ou . - Regra da cadeia (para o arco-tangente): se
então Assim, para , e usando a regra do produto para ,
Passo 4
Agora montamos a expressão geral para
.
Aplicando a regra do produto com :
Aplicando a regra do produto com
Pela regra da cadeia e do produto (para
):
Usando os resultados do Passo 2 (
,
,
):
Passo 5
Agora
. Mesma ideia (produto + cadeia):
Pela cadeia:
Usando do Passo 2 (
,
,
):
Passo 6
Agora
. Aqui
, então só vem a parte da
:
Como
e
,
Passo 7
Agora vamos avaliar tudo no ponto
. Primeiro calculamos
e
:
Logo
e
Passo 8
Substituímos esses números nas fórmulas obtidas:
- Para
: - Para
: - Para
: