A potência de um sistema pode ser modelada por:
P(x, y)=x^{2} y
onde x representa a intensidade do recurso (vento ou radiação) e y um parâmetro de eficiência.
(a) Determine o domínio físico da função.
(b) Calcule \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} P(x, y).
(c) Interprete esse limite no contexto físico.

Passo 1

O enunciado dá a função de potência
P(x,y)=x^{2}y,
com a interpretação física das variáveis:
  • x é a intensidade do recurso (vento ou radiação);
  • y é um parâmetro de eficiência.
As perguntas são:
(a) determinar o domínio físico da função;
(b) calcular \lim_{(x,y)\to(0,0)}P(x,y);
(c) interpretar esse limite no contexto físico.
Informações relevantes fornecidas: a expressão analítica de P e o significado físico de x e y. Não há outros números ou gráficos no enunciado.

Passo 2

Entendendo o que “domínio físico” significa aqui: o domínio matemático de P é todo \mathbb{R}^2, porque a fórmula x^{2}y aceita quaisquer reais. Mas o domínio físico impõe restrições por causa do significado das variáveis:
  • Intensidade do recurso x: como intensidade física (velocidade do vento, irradiância, etc.), não faz sentido ser negativa — não existe “ventos negativos” no sentido de recurso disponível para gerar potência. Então fisicamente devemos ter x\ge 0.
  • Eficiência y: eficiência é uma razão que costuma variar entre 0 (nenhuma conversão de recurso em potência) e 1 (100% de eficiência, caso ideal). Valores maiores que 1 seriam “over-unity” (violam conservação de energia) e valores negativos não fazem sentido físico. Portanto fisicamente 0\le y\le 1.
Essas são escolhas físicas razoáveis e usuais; se o problema aceitasse outro intervalo para y isso deveria ser indicado, mas com a interpretação usual de eficiência usa-se [0,1].

Passo 3

Expressando o domínio físico em notação matemática:
\text{Domínio físico}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\ge 0,\\\ 0\le y\le 1\}.íí

Passo 4

Agora vamos calcular o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)}P(x,y). Antes, uma pequena explicação didática sobre limites em duas variáveis:
  • Dizer que \lim_{(x,y)\to(0,0)}P(x,y)=L significa que, qualquer que seja a maneira de nos aproximarmos do ponto (0,0) (por qualquer trajetória), os valores de P(x,y) tendem para o mesmo número L.
  • Uma forma simples de mostrar isso é usar desigualdades que prendem |P(x,y)-L| por algo que tende a zero quando (x,y)\to(0,0).
No nosso caso P(x,y)=x^{2}y. Uma observação útil é que, para qualquer ponto (x,y),
|P(x,y)|=|x^{2}y|=|x|^{2}\,|y|.
Se nos aproximarmos de (0,0) com distância euclidiana r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, então |x|\le r e |y|\le r. Assim
|x^{2}y| \le r^{2}\cdot r = r^{3}.
Como r\to 0 quando (x,y)\to(0,0), o produto r^{3}\to 0. Pelo princípio do “aperto” (squeeze theorem), temos |P(x,y)|\le r^{3}\to 0, logo P(x,y)\to 0.

Passo 5

Podemos também argumentar de maneira mais simples e intuitiva: P é um polinômio em x e y, e polinômios são funções contínuas em \mathbb{R}^2. Portanto o limite quando (x,y)\to(0,0) é simplesmente o valor da função no ponto (0,0), que é
P(0,0)=0^{2}\cdot 0=0.
Ambas as abordagens confirmam o mesmo resultado.

Passo 6

Interpretação física do resultado (didática e com exemplos):
  • O limite \lim_{(x,y)\to(0,0)}P(x,y)=0 significa que, se tanto a intensidade do recurso quanto a eficiência forem levadas a valores muito pequenos simultaneamente, a potência gerada tende a zero.
  • Observação importante sobre sensibilidade: P depende de x ao quadrado e de y linearmente. Isso diz que pequenas variações em x têm efeito quadrático na potência (por exemplo, reduzir x pela metade reduz P por um fator 1/4, se y for fixo), enquanto variações em y afetam P de modo linear.
  • Exemplo numérico rápido para intuir: se x=0{,}1 e y=0{,}5 então P=0{,}1^{2}\cdot 0{,}5=0{,}005, pequeno — mostra como x pequeno domina e leva P a valores próximos de zero.
  • Conclusão física: sem recurso ( x pequeno) ou com eficiência quase nula ( y pequena), não há potência aproveitável; e a queda na potência é particularmente rápida quando a intensidade do recurso diminui, por causa do termo x^{2}.

Resposta

(a) \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\ge 0,\\\ 0\le y\le 1\}
(b) \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}P(x,y)=0
(c) Quando tanto a intensidade do recurso quanto a eficiência tendem a zero, a potência gerada tende a zero; além disso, a potência decai quadraticamente com x e linearmente com y, o que torna x a variável que mais rapidamente reduz P quando fica pequena.

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