A potência de um sistema pode ser modelada por:
onde
representa a intensidade do recurso (vento ou radiação) e y um parâmetro de eficiência.
(a) Determine o domínio físico da função.
(b) Calcule
.
(c) Interprete esse limite no contexto físico.
(a) Determine o domínio físico da função.
(b) Calcule
(c) Interprete esse limite no contexto físico.
Passo 1
O enunciado dá a função de potência
com a interpretação física das variáveis:
-
é a intensidade do recurso (vento ou radiação); -
é um parâmetro de eficiência.
As perguntas são:
(a) determinar o domínio físico da função;
(b) calcular ;
(c) interpretar esse limite no contexto físico.
(a) determinar o domínio físico da função;
(b) calcular
(c) interpretar esse limite no contexto físico.
Informações relevantes fornecidas: a expressão analítica de
e o significado físico de
e
. Não há outros números ou gráficos no enunciado.
Passo 2
Entendendo o que “domínio físico” significa aqui: o domínio matemático de
é todo
, porque a fórmula
aceita quaisquer reais. Mas o domínio físico impõe restrições por causa do significado das variáveis:
- Intensidade do recurso
: como intensidade física (velocidade do vento, irradiância, etc.), não faz sentido ser negativa — não existe “ventos negativos” no sentido de recurso disponível para gerar potência. Então fisicamente devemos ter . - Eficiência
: eficiência é uma razão que costuma variar entre (nenhuma conversão de recurso em potência) e (100% de eficiência, caso ideal). Valores maiores que seriam “over-unity” (violam conservação de energia) e valores negativos não fazem sentido físico. Portanto fisicamente .
Essas são escolhas físicas razoáveis e usuais; se o problema aceitasse outro intervalo para
isso deveria ser indicado, mas com a interpretação usual de eficiência usa-se
.
Passo 3
Expressando o domínio físico em notação matemática:
Passo 4
Agora vamos calcular o limite
. Antes, uma pequena explicação didática sobre limites em duas variáveis:
- Dizer que
significa que, qualquer que seja a maneira de nos aproximarmos do ponto (por qualquer trajetória), os valores de tendem para o mesmo número . - Uma forma simples de mostrar isso é usar desigualdades que prendem
por algo que tende a zero quando .
No nosso caso
. Uma observação útil é que, para qualquer ponto
,
Se nos aproximarmos de
com distância euclidiana
, então
e
. Assim
Como
quando
, o produto
. Pelo princípio do “aperto” (squeeze theorem), temos
, logo
.
Passo 5
Podemos também argumentar de maneira mais simples e intuitiva:
é um polinômio em
e
, e polinômios são funções contínuas em
. Portanto o limite quando
é simplesmente o valor da função no ponto
, que é
Ambas as abordagens confirmam o mesmo resultado.
Passo 6
Interpretação física do resultado (didática e com exemplos):
- O limite
significa que, se tanto a intensidade do recurso quanto a eficiência forem levadas a valores muito pequenos simultaneamente, a potência gerada tende a zero. - Observação importante sobre sensibilidade:
depende de ao quadrado e de linearmente. Isso diz que pequenas variações em têm efeito quadrático na potência (por exemplo, reduzir pela metade reduz por um fator , se for fixo), enquanto variações em afetam de modo linear. - Exemplo numérico rápido para intuir: se
e então , pequeno — mostra como pequeno domina e leva a valores próximos de zero. - Conclusão física: sem recurso (
pequeno) ou com eficiência quase nula ( pequena), não há potência aproveitável; e a queda na potência é particularmente rápida quando a intensidade do recurso diminui, por causa do termo .
Resposta
(a)
(b)
(c) Quando tanto a intensidade do recurso quanto a eficiência tendem a zero, a potência gerada tende a zero; além disso, a potência decai quadraticamente com e linearmente com
, o que torna
a variável que mais rapidamente reduz
quando fica pequena.
(b)
(c) Quando tanto a intensidade do recurso quanto a eficiência tendem a zero, a potência gerada tende a zero; além disso, a potência decai quadraticamente com