b) Usar o item anterior para determinar o valor de L de modo que f seja contínua em (0,0), com justificativa.
As informações relevantes: a expressão racional dada para (x,y)\neq(0,0) e o valor fixo L em (0,0).]
Passo 2
Observação algébrica útil (vale para qualquer (x,y) com x^{2}+y^{2}\neq0): fatoramos o numerador.
Mostrando o fatoramento:
x^{3}y+xy^{3}=xy\,(x^{2}+y^{2}).
Isto é importante porque permite simplificar a fração quando o denominador não é zero.
Passo 3
Aplicando o fatoramento na expressão do enunciado obtemos, para (x,y) tais que x^{2}+y^{2}\neq0,
Explicação do porquê da simplificação ser válida: podemos cancelar x^{2}+y^{2} porque no ponto de interesse (0,1) temos 0^{2}+1^{2}=1\neq0, então em uma vizinhança de (0,1) o denominador permanece não nulo e a simplificação é legítima.
Passo 4
Usamos o resultado do passo anterior para calcular o limite pedido em (a). Como perto de (0,1) a expressão vale xy, temos