1. Considere a função
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{3} y+x y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\\ L, & (x, y)=(0,0)\end{cases}
e resolva as questōes abaixo.
a) Calcule o limite
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,1)} \frac{x^{3} y+x y^{3}}{x^{2}+y^{2}}
b) Use o item anterior para determinar o valor de L de tal forma que f(x, y) scja continua em (0,0). Justifique a sun resposta.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{x^{3}y+xy^{3}}{x^{2}+y^{2}},&(x,y)\neq(0,0)\\[6pt]L,&(x,y)=(0,0)\end{cases}
e pede duas coisas:
a) Calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(0,1)}\frac{x^{3}y+xy^{3}}{x^{2}+y^{2}}.
b) Usar o item anterior para determinar o valor de L de modo que f seja contínua em (0,0), com justificativa.
As informações relevantes: a expressão racional dada para (x,y)\neq(0,0) e o valor fixo L em (0,0).]

Passo 2

Observação algébrica útil (vale para qualquer (x,y) com x^{2}+y^{2}\neq0): fatoramos o numerador.
Mostrando o fatoramento:
x^{3}y+xy^{3}=xy\,(x^{2}+y^{2}).
Isto é importante porque permite simplificar a fração quando o denominador não é zero.

Passo 3

Aplicando o fatoramento na expressão do enunciado obtemos, para (x,y) tais que x^{2}+y^{2}\neq0,
\frac{x^{3}y+xy^{3}}{x^{2}+y^{2}}=\frac{xy\,(x^{2}+y^{2})}{x^{2}+y^{2}}=xy.
Explicação do porquê da simplificação ser válida: podemos cancelar x^{2}+y^{2} porque no ponto de interesse (0,1) temos 0^{2}+1^{2}=1\neq0, então em uma vizinhança de (0,1) o denominador permanece não nulo e a simplificação é legítima.

Passo 4

Usamos o resultado do passo anterior para calcular o limite pedido em (a). Como perto de (0,1) a expressão vale xy, temos
\lim_{(x,y)\to(0,1)}\frac{x^{3}y+xy^{3}}{x^{2}+y^{2}}=\lim_{(x,y)\to(0,1)}xy.
Agora avaliamos a função contínua xy no ponto (0,1): simplesmente substituímos x=0 e y=1, logo o limite é
\lim_{(x,y)\to(0,1)}xy=0\cdot 1=0.

Passo 5

Passando para (b): lembrar da definição de continuidade em (0,0). A função f será contínua em (0,0) se, e somente se,
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=f(0,0)=L.
Então precisamos calcular \lim_{(x,y)\to(0,0)}\dfrac{x^{3}y+xy^{3}}{x^{2}+y^{2}} (considerando (x,y)\neq(0,0) na expressão).

Passo 6

Usamos de novo o fatoramento do passo 2: para (x,y)\neq(0,0) temos f(x,y)=xy. Portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{3}y+xy^{3}}{x^{2}+y^{2}}=\lim_{(x,y)\to(0,0)}xy.
Agora mostramos que \lim_{(x,y)\to(0,0)}xy=0. Uma maneira simples e rigorosa é usar a desigualdade
2|xy|\le x^{2}+y^{2},
que vem de (x-y)^{2}\ge0 (ou da desigualdade AM-GM). Dividindo por 2,
|xy|\le\frac{x^{2}+y^{2}}{2}.
Quando (x,y)\to(0,0) temos x^{2}+y^{2}\to0, logo o lado direito tende a 0, e portanto |xy|\to0. Assim \lim_{(x,y)\to(0,0)}xy=0.

Passo 7

Conclusão para (b): como \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0, para que f seja contínua em (0,0) devemos escolher
L=0.
Isto garante que f(0,0)=L coincide com o limite.

Resposta

(a) \;0
(b) \;L=0

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