Aqui a observação prática: \frac{\cos(x)}{x} é constante em relação a y, então a integral interna em y será simples. Antes de calcular, vamos justificar com calma a troca de ordem, porque há um comportamento singular em x=0.
Passo 4
Justificativa da troca (problema da singularidade em x=0): \frac{\cos(x)}{x} tem singularidade não integrável em valor absoluto em x=0 (pois \frac{|\cos x|}{x}\sim \frac{1}{x} quando x\to0), então a hipótese de integrabilidade absoluta do Teorema de Fubini não vale diretamente. Para ser rigoroso usamos um processo de limite (truncamento em torno de x=0) e aplicamos Fubini em regiões sem singularidade, e depois passamos ao limite.
Para \varepsilon>0 o integrando é contínuo na região considerada, logo podemos trocar a ordem por Fubini. Depois vamos fazer \varepsilon\to0^+ e mostrar que o limite existe e dá o valor desejado.
Passo 5
Aplicamos Fubini em I(\varepsilon). A região para \varepsilon>0 é