Mude a ordem de integração usando integrais iteradas (Teorema de Fubini) para calcular a integral abaixo:
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{y}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos (x)}{x} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para trocar a ordem de integração (usar integrais iteradas / Teorema de Fubini) e calcular
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{y}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos(x)}{x}\,dx\,dy.
Informações dadas:
\text{integrando: }\frac{\cos(x)}{x},\qquad y\text{ varia em }[0,\tfrac{\pi}{2}],\qquad x\text{ varia em }[y,\tfrac{\pi}{2}].
Não há figura enviada; estamos trabalhando apenas com esses limites.

Passo 2

Descrevemos a região de integração D no plano (x,y) dada pelos limites:
D=\{(x,y)\mid 0\le y\le \tfrac{\pi}{2},\; y\le x\le \tfrac{\pi}{2}\}.
É um triângulo com vértices (0,0), (\tfrac{\pi}{2},0) e (\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}). Para trocar a ordem, queremos escrever D como
D=\{(x,y)\mid 0\le x\le \tfrac{\pi}{2},\; 0\le y\le x\}.

Passo 3

Trocando a ordem de integração (integrando primeiro em y e depois em x) obtemos formalmente a integral equivalente
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{x} \frac{\cos(x)}{x}\,dy\,dx.
Aqui a observação prática: \frac{\cos(x)}{x} é constante em relação a y, então a integral interna em y será simples. Antes de calcular, vamos justificar com calma a troca de ordem, porque há um comportamento singular em x=0.

Passo 4

Justificativa da troca (problema da singularidade em x=0):
\frac{\cos(x)}{x} tem singularidade não integrável em valor absoluto em x=0 (pois \frac{|\cos x|}{x}\sim \frac{1}{x} quando x\to0), então a hipótese de integrabilidade absoluta do Teorema de Fubini não vale diretamente. Para ser rigoroso usamos um processo de limite (truncamento em torno de x=0) e aplicamos Fubini em regiões sem singularidade, e depois passamos ao limite.
Definimos, para \varepsilon\in(0,\tfrac{\pi}{2}),
I(\varepsilon)=\int_{\varepsilon}^{\frac{\pi}{2}} \int_{y}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos(x)}{x}\,dx\,dy.
Para \varepsilon>0 o integrando é contínuo na região considerada, logo podemos trocar a ordem por Fubini. Depois vamos fazer \varepsilon\to0^+ e mostrar que o limite existe e dá o valor desejado.

Passo 5

Aplicamos Fubini em I(\varepsilon). A região para \varepsilon>0 é
D_\varepsilon=\{(x,y)\mid \varepsilon\le y\le \tfrac{\pi}{2},\; y\le x\le \tfrac{\pi}{2}\},
equivalente a
D_\varepsilon=\{(x,y)\mid \varepsilon\le x\le \tfrac{\pi}{2},\; \varepsilon\le y\le x\}.
Trocando a ordem obtemos
I(\varepsilon)=\int_{\varepsilon}^{\frac{\pi}{2}} \int_{\varepsilon}^{x} \frac{\cos(x)}{x}\,dy\,dx.
Agora calculamos a integral interna em y. Como \frac{\cos(x)}{x} é constante em y,
\int_{\varepsilon}^{x} \frac{\cos(x)}{x}\,dy = \frac{\cos(x)}{x}\,(x-\varepsilon) = \cos(x) - \varepsilon\frac{\cos(x)}{x}.
Portanto
I(\varepsilon)=\int_{\varepsilon}^{\frac{\pi}{2}} \left(\cos(x) - \varepsilon\frac{\cos(x)}{x}\right)\,dx.
Separamos as duas parcelas:
I(\varepsilon)=\int_{\varepsilon}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x)\,dx \;-\; \varepsilon\int_{\varepsilon}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos(x)}{x}\,dx.

Passo 6

Agora fazemos o limite \varepsilon\to0^+. A primeira parcela é direta:
\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{\varepsilon}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x)\,dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x)\,dx = \left.\sin(x)\right|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 1.
Para a segunda parcela precisamos ver que ela tende a 0. Note que, para pequeno \varepsilon,
\left|\int_{\varepsilon}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos(x)}{x}\,dx\right|\le C + |\ln\varepsilon|
para alguma constante C (comportamento logarítmico perto de 0). Multiplicando por \varepsilon obtemos
\left|\varepsilon\int_{\varepsilon}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos(x)}{x}\,dx\right|\le \varepsilon\,(C+|\ln\varepsilon|)\xrightarrow{\varepsilon\to0^+}0,
pois \varepsilon|\ln\varepsilon|\to0. Logo a segunda parcela tende a 0. Combinando,
\lim_{\varepsilon\to0^+} I(\varepsilon) = 1 - 0 = 1.
Esse limite é exatamente a integral imprópria original, portanto a integral pedida existe e vale 1.
Observação rápida (intuição): ao trocar a ordem, a integração em y “anula” o fator 1/x fazendo sobrar \cos x, o que simplifica fortemente o cálculo.

Resposta

1

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