- Dada a funçã
definda por
responda o que so pede:
a) Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem
e
b) Determine o(s) ponto(s) critico(s) de
.
c) Culcule o determinante da matrix Hessiana (matria das derivadas de segunda ordem) de
no(s) ponto(s) erítioo(s) encontrado(s) no item anterior.
d) Classifique o(s) ponto(s) critico(s) encontrado(s).
a) Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem
b) Determine o(s) ponto(s) critico(s) de
c) Culcule o determinante da matrix Hessiana (matria das derivadas de segunda ordem) de
d) Classifique o(s) ponto(s) critico(s) encontrado(s).
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
As perguntas são:
a) Calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem .
b) Determinar o(s) ponto(s) crítico(s) de .
c) Calcular o determinante da matriz Hessiana de no(s) ponto(s) crítico(s) encontrado(s).
d) Classificar o(s) ponto(s) crítico(s) (mínimo, máximo ou sela).
a) Calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem
b) Determinar o(s) ponto(s) crítico(s) de
c) Calcular o determinante da matriz Hessiana de
d) Classificar o(s) ponto(s) crítico(s) (mínimo, máximo ou sela).
Todas as informações necessárias estão no enunciado acima. A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Lembrete rápido e didático: para calcular
derivamos
em relação a
tratando
como constante; e para
derivamos em relação a
tratando
como constante.
Termo a termo:
-
derivando em relação a dá . -
é linear em (com coeficiente quando é constante), então sua derivada em relação a é . -
é independente de , derivada zero. -
dá . -
é independente de , derivada zero.
Portanto
Agora
: termo a termo,
-
independe de → 0. -
visto como função de tem derivada . -
dá . -
independe de → 0. -
dá .
Logo
Passo 3
Calculamos agora as derivadas parciais de segunda ordem. Didaticamente: derivada de segunda ordem é derivar novamente as derivadas de primeira ordem; as mistas
e
costumam ser iguais quando as funções são suficientemente suaves (aqui são polinômios, então são iguais).
Derive
:
Derive
:
-
-
que confirma .
Resumindo:
Passo 4
Agora determinamos os pontos críticos. Regra: pontos críticos são os pontos onde o gradiente é nulo, isto é, onde
e
simultaneamente.
Escrevemos o sistema
Vou resolver esse sistema por substituição (passo a passo).]
Passo 5
Resolução do sistema por substituição:
Da primeira equação isolamos
:
Substituímos esse
na segunda equação:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Fazendo as multiplicações:
Somando termos semelhantes:
Logo
Voltando para
:
Portanto existe um único ponto crítico:
Passo 6
A matriz Hessiana
(matriz das derivadas de segunda ordem) é dada por
Aqui as derivadas de segunda ordem são constantes, então
O determinante da Hessiana é
Como
é constante, seu valor no ponto crítico
também é
.]
Passo 7
Classificação do ponto crítico usando o teste das derivadas segundas para funções de duas variáveis (explicação didática):
- Se
e no ponto crítico, o ponto é um mínimo local. - Se
e , é um máximo local. - Se
, é ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
Aplicando aos nossos valores:
Portanto, pelo teste, o ponto crítico
é um mínimo local.
Adicional — comentário útil:
é um polinômio quadrático com matriz Hessiana positiva definida (os menores principais:
e
), logo a forma quadrática é positiva definida e o mínimo local é, na verdade, um mínimo global. Em linguagem simples: para
grande,
, não há outros pontos com valor menor que o do ponto crítico.
Resposta
a)
b) Ponto crítico:
c)
d) O ponto crítico é um mínimo (local e, neste caso, global).
b) Ponto crítico:
c)
d) O ponto crítico