1. Dada a funçã f=\mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} definda por f(x, y)=2 x^{2}+3 x y+4 y^{2}-5 x+2 y responda o que so pede:
    a) Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem f_{x}, f_{y}, f_{x x} f_{x y} e f_{y y}
    b) Determine o(s) ponto(s) critico(s) de f(x, y).
    c) Culcule o determinante da matrix Hessiana (matria das derivadas de segunda ordem) de f(x, y) no(s) ponto(s) erítioo(s) encontrado(s) no item anterior.
    d) Classifique o(s) ponto(s) critico(s) encontrado(s).

Passo 1

O enunciado dá a função \;f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\; definida por
f(x,y)=2x^{2}+3xy+4y^{2}-5x+2y.
As perguntas são:
a) Calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem \;f_{x},\;f_{y},\;f_{xx},\;f_{xy},\;f_{yy}.
b) Determinar o(s) ponto(s) crítico(s) de f.
c) Calcular o determinante da matriz Hessiana de f no(s) ponto(s) crítico(s) encontrado(s).
d) Classificar o(s) ponto(s) crítico(s) (mínimo, máximo ou sela).
Todas as informações necessárias estão no enunciado acima. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Lembrete rápido e didático: para calcular \;f_x\; derivamos f em relação a x tratando y como constante; e para \;f_y\; derivamos em relação a y tratando x como constante.
Termo a termo:
  • \;2x^2 derivando em relação a x \;4x.
  • \;3xy é linear em x (com coeficiente 3y quando y é constante), então sua derivada em relação a x é \;3y.
  • \;4y^2 é independente de x, derivada zero.
  • \;-5x -5.
  • \;2y é independente de x, derivada zero.
Portanto
f_x(x,y)=4x+3y-5.
Agora \;f_y: termo a termo,
  • \;2x^2 independe de y → 0.
  • \;3xy visto como função de y tem derivada \;3x.
  • \;4y^2 \;8y.
  • \;-5x independe de y → 0.
  • \;2y 2.
Logo
f_y(x,y)=3x+8y+2.

Passo 3

Calculamos agora as derivadas parciais de segunda ordem. Didaticamente: derivada de segunda ordem é derivar novamente as derivadas de primeira ordem; as mistas \;f_{xy} e \;f_{yx} costumam ser iguais quando as funções são suficientemente suaves (aqui são polinômios, então são iguais).
Derive \;f_x=4x+3y-5\;:
  • \;f_{xx}=\dfrac{\partial}{\partial x}(4x+3y-5)=4.
  • \;f_{xy}=\dfrac{\partial}{\partial y}(4x+3y-5)=3.
Derive \;f_y=3x+8y+2\;:
  • \;f_{yy}=\dfrac{\partial}{\partial y}(3x+8y+2)=8.
  • \;f_{yx}=\dfrac{\partial}{\partial x}(3x+8y+2)=3, que confirma \;f_{xy}=f_{yx}=3.
Resumindo:
f_{xx}=4,\qquad f_{xy}=3,\qquad f_{yy}=8.

Passo 4

Agora determinamos os pontos críticos. Regra: pontos críticos são os pontos onde o gradiente é nulo, isto é, onde \;f_x=0\; e \;f_y=0 simultaneamente.
Escrevemos o sistema
\begin{cases} 4x+3y-5=0,\\[4pt] 3x+8y+2=0. \end{cases}
Vou resolver esse sistema por substituição (passo a passo).]

Passo 5

Resolução do sistema por substituição:
Da primeira equação isolamos x:
4x+3y-5=0 \quad\Longrightarrow\quad 4x=5-3y \quad\Longrightarrow\quad x=\dfrac{5-3y}{4}.
Substituímos esse x na segunda equação:
3\left(\dfrac{5-3y}{4}\right)+8y+2=0.
Multiplicando ambos os lados por 4 para eliminar o denominador:
3(5-3y)+32y+8=0.
Fazendo as multiplicações:
15-9y+32y+8=0.
Somando termos semelhantes:
(15+8)+( -9y+32y)=23+23y=0.
Logo
23y=-23 \quad\Longrightarrow\quad y=-1.
Voltando para x:
x=\dfrac{5-3y}{4}=\dfrac{5-3(-1)}{4}=\dfrac{5+3}{4}=\dfrac{8}{4}=2.
Portanto existe um único ponto crítico:
(x,y)=(2,-1).

Passo 6

A matriz Hessiana H (matriz das derivadas de segunda ordem) é dada por
H(x,y)=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\[4pt] f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}.
Aqui as derivadas de segunda ordem são constantes, então
H=\begin{pmatrix}4 & 3\\[4pt]3 & 8\end{pmatrix}.
O determinante da Hessiana é
\det(H)=f_{xx}f_{yy}- (f_{xy})^{2}=4\cdot 8 - 3^{2}=32-9=23.
Como \det(H) é constante, seu valor no ponto crítico (2,-1) também é \;23.]

Passo 7

Classificação do ponto crítico usando o teste das derivadas segundas para funções de duas variáveis (explicação didática):
  • Se \det(H)>0 e f_{xx}>0 no ponto crítico, o ponto é um mínimo local.
  • Se \det(H)>0 e f_{xx}<0, é um máximo local.
  • Se \det(H)<0, é ponto de sela.
  • Se \det(H)=0, o teste é inconclusivo.
Aplicando aos nossos valores:
\det(H)=23>0 \quad\text{e}\quad f_{xx}=4>0.
Portanto, pelo teste, o ponto crítico (2,-1) é um mínimo local.
Adicional — comentário útil: f é um polinômio quadrático com matriz Hessiana positiva definida (os menores principais: f_{xx}=4>0 e \det(H)=23>0), logo a forma quadrática é positiva definida e o mínimo local é, na verdade, um mínimo global. Em linguagem simples: para \|(x,y)\| grande, f(x,y)\to+\infty, não há outros pontos com valor menor que o do ponto crítico.

Resposta

a) \;f_x(x,y)=4x+3y-5,\quad f_y(x,y)=3x+8y+2,\quad f_{xx}=4,\quad f_{xy}=3,\quad f_{yy}=8.
b) Ponto crítico: \;(2,-1).
c) \;\det(H)=23.
d) O ponto crítico \;(2,-1) é um mínimo (local e, neste caso, global).

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