Considere a função
f(x, y)=cc x y^3x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
© Estude a diferenciabilidade de f no ponto (0,0).

Passo 1

A função é dada por
Temos uma função de duas variáveis definida por
f(x,y)=x y^3x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0) 0,&(x,y)=(0,0)
E queremos estudar a diferenciabilidade em (0,0). O conteúdo aqui é o conceito de diferenciabilidade para funções de várias variáveis, usando derivadas parciais e o critério de que
f(x,y)=f(0,0)+Df(0,0)cdot(x,y)+o(raizx^2+y^2)

Passo 2

Para começar, calculamos as derivadas parciais em (0,0) pela definição:
fx(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h=limhto00-0h=0,
fy(0,0)=limhto0f(0,h)-f(0,0)h=limhto00-0h=0
Logo a candidata a diferencial linear é a aplicação zero.

Passo 3

Agora, pelo critério de diferenciabilidade, precisamos mostrar que
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)-0-0raizx^2+y^2=0
Isto é, f(x,y)=o(raizx^2+y^2).

Passo 4

Usamos uma desigualdade para controlar f(x,y):
|f(x,y)|=|x y^3x^2+y^2|<=|x|,|y|^3y^2=|x|,|y|
Como |x|<= r e |y|<= r, onde r=raizx^2+y^2, temos
|f(x,y)|<= r^2
Dividindo por r resulta
|f(x,y)r|<= rto0
quando (x,y)to(0,0).

Passo 5

Portanto, f(x,y)-0cdot x-0cdot y=o(raizx^2+y^2), ou seja, f é diferenciável em (0,0) e sua diferencial é a aplicação linear nula.

Resposta

A função f é diferenciável em (0,0) e Df(0,0) é o operador nulo.

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