A função é dada por
Temos uma função de duas variáveis definida por
E queremos estudar a diferenciabilidade em (0,0). O conteúdo aqui é o conceito de diferenciabilidade para funções de várias variáveis, usando derivadas parciais e o critério de que
Passo 2
Para começar, calculamos as derivadas parciais em (0,0) pela definição:
Logo a candidata a diferencial linear é a aplicação zero.
Passo 3
Agora, pelo critério de diferenciabilidade, precisamos mostrar que
Isto é, .
Passo 4
Usamos uma desigualdade para controlar :
Como |x|<= r e |y|<= r, onde r=raizx^2+y^2, temos
|f(x,y)|<= r^2
Dividindo por r resulta
|f(x,y)r|<= rto0
quando (x,y)to(0,0).
Passo 5
Portanto, f(x,y)-0cdot x-0cdot y=o(raizx^2+y^2), ou seja, f é diferenciável em (0,0) e sua diferencial é a aplicação linear nula.
Resposta
A função f é diferenciável em (0,0) e Df(0,0) é o operador nulo.