Seja a inequação:
6 x^4-5 x^3-29 x^2+10 x<0. Seja (a, b) um intervalo contido no conjunto solução dessa inequação. 0 maior valor possível para b-a é:
(A) 2 (B) 136 © 13 (D) 52 (E) 83

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que temos para resolver é uma inequação do quarto grau:
6x^4 - 5x^3 - 29x^2 + 10x < 0
Nosso objetivo é encontrar um intervalo (a, b) que esteja dentro das soluções dessa inequação e determinar o maior valor possível para b - a. Para isso, vamos precisar conhecer conceitos de resolução de inequações polinomiais, como encontrar as raízes do polinômio e analisar os sinais do polinômio nas diferentes regiões determinadas por essas raízes.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os valores de x que tornam a inequação igual a zero, ou seja, resolveremos:
6x^4 - 5x^3 - 29x^2 + 10x = 0
Vamos fatorar esse polinômio para facilitar. Podemos começar fatorando x:
x(6x^3 - 5x^2 - 29x + 10) = 0
Isso nos dá uma raiz imediata em x = 0. Agora, precisamos resolver a equação cúbica:
6x^3 - 5x^2 - 29x + 10 = 0
Para encontrar as raízes dessa cúbica, vamos tentar possíveis valores racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Os candidatos a raízes são os divisores de 10 (termo constante) sobre os divisores de 6 (coeficiente líder), ou seja: pm1, pm2, pm5, pm10, pm12, pm52, etc.
Testando x = 2:
6(8) - 5(4) - 29(2) + 10 = 48 - 20 - 58 + 10 = -20 neq 0
Testando x = 12:
6(18) - 5(14) - 29(12) + 10 = 68 - 54 - 292 + 10 = 34 - 54 - 292 + 10
Simplificando:
-24 - 292 + 10 = -12 - 14.5 + 10 = -5 neq 0
Continuando esse processo, descobriremos que x = 52 é uma raiz da cúbica.

Passo 3

Após encontrar x = 52 como raiz, podemos fatorar a cúbica:
6x^3 - 5x^2 - 29x + 10 = (x - 52)(6x^2 + 52x - 4)
Agora, precisamos resolver a equação quadrática 6x^2 + 52x - 4 = 0. Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a,
onde a = 6, b = 52 e c = -4.
Calculando o discriminante:
De
Assim,
x = -52 pm raiz409412 = -52 pm raiz409212 = -5 pm raiz40924
Então, temos duas raízes:
x = -5 + raiz40924 e x = -5 - raiz40924

Passo 4

Agora, temos todas as raízes do polinômio original:
x = 0, x = 52, x = -5 + raiz40924, x = -5 - raiz40924
Vamos ordenar essas raízes do menor para o maior para identificar os intervalos:
x approx -5 - 20.22324 = -25.22324 approx -1.05,
x approx -5 + 20.22324 = 15.22324 approx 0.634,
x = 0,
x = 52 = 2.5
Agora, temos os intervalos determinados por essas raízes:
(-infty, -1.05), (-1.05, 0), (0, 0.634), (0.634, 2.5), (2.5, +infty).

Passo 5

Vamos analisar o sinal do polinômio em cada intervalo. Escolhemos um valor de x em cada intervalo e substituímos na inequação original:
  1. Em (-infty, -1.05), por exemplo x = -2:
6(-2)^4 - 5(-2)^3 - 29(-2)^2 + 10(-2) = 6(16) - 5(-8) - 29(4) + (-20) = 96 + 40 - 116 - 20 = 0
Sinal positivo.
2. Em (-1.05, 0), por exemplo x = -0.5:
6(-0.5)^4 - 5(-0.5)^3 - 29(-0.5)^2 + 10(-0.5) = 6(0.0625) - 5(-0.125) - 29(0.25) + (-5) approx 0.375 + 0.625 - 7.25 - 5 = -11.25
Sinal negativo.
3. Em (0, 0.634), por exemplo x = 0.5:
6(0.5)^4 - 5(0.5)^3 - 29(0.5)^2 + 10(0.5) = 6(0.0625) - 5(0.125) - 29(0.25) + 5 approx 0.375 - 0.625 - 7.25 + 5 = -2.5
Sinal negativo.
4. Em (0.634, 2.5), por exemplo x = 1:
6(1)^4 - 5(1)^3 - 29(1)^2 + 10(1) = 6 - 5 - 29 + 10 = -18
Sinal negativo.
5. Em (2.5, +infty), por exemplo x = 3:
6(3)^4 - 5(3)^3 - 29(3)^2 + 10(3) = 6(81) - 5(27) - 29(9) + 30 = 486 - 135 - 261 + 30 = 120
Sinal positivo.
A inequação 6x^4 - 5x^3 - 29x^2 + 10x < 0 é satisfeita nos intervalos onde o polinômio é negativo, ou seja, em (-1.05, 0), (0, 0.634) e (0.634, 2.5).

Passo 6

Agora, queremos encontrar o intervalo (a, b) dentro dessas soluções tal que b - a seja o maior possível. Observando os intervalos:
  • (-1.05, 0) tem comprimento 1.05.
  • (0, 2.5) tem comprimento 2.5.
O maior intervalo é (0, 2.5), cujo comprimento é:
b - a = 2.5 - 0 = 2.5
Comparando com as opções fornecidas, a maior diferença b - a possível é 2.5.

Resposta

(D) 52

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