Seja a inequação:
. Seja
um intervalo contido no conjunto solução dessa inequação. 0 maior valor possível para
é:
(A) 2 (B)
©
(D)
(E)
(A) 2 (B)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que temos para resolver é uma inequação do quarto grau:
Nosso objetivo é encontrar um intervalo
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os valores de
que tornam a inequação igual a zero, ou seja, resolveremos:
Vamos fatorar esse polinômio para facilitar. Podemos começar fatorando
Isso nos dá uma raiz imediata em
. Agora, precisamos resolver a equação cúbica:
Para encontrar as raízes dessa cúbica, vamos tentar possíveis valores racionais usando o Teorema das Raízes Racionais. Os candidatos a raízes são os divisores de 10 (termo constante) sobre os divisores de 6 (coeficiente líder), ou seja:
Testando
:
Testando
Simplificando:
Continuando esse processo, descobriremos que
Passo 3
Após encontrar
como raiz, podemos fatorar a cúbica:
Agora, precisamos resolver a equação quadrática
onde
,
e
.
Calculando o discriminante:
Calculando o discriminante:
Assim,
Então, temos duas raízes:
Passo 4
Agora, temos todas as raízes do polinômio original:
Vamos ordenar essas raízes do menor para o maior para identificar os intervalos:
Agora, temos os intervalos determinados por essas raízes:
Passo 5
Vamos analisar o sinal do polinômio em cada intervalo. Escolhemos um valor de
em cada intervalo e substituímos na inequação original:
- Em
, por exemplo :
Sinal positivo.
2. Em
Sinal negativo.
3. Em , por exemplo
:
3. Em
Sinal negativo.
4. Em
Sinal negativo.
5. Em , por exemplo
:
5. Em
Sinal positivo.
A inequação
é satisfeita nos intervalos onde o polinômio é negativo, ou seja, em
,
e
.
Passo 6
Agora, queremos encontrar o intervalo
dentro dessas soluções tal que
seja o maior possível. Observando os intervalos:
-
tem comprimento . -
tem comprimento .
O maior intervalo é
, cujo comprimento é:
Comparando com as opções fornecidas, a maior diferença
possível é
.
Resposta
(D)