Considere a função
é diferenciável em
?
Passo 1
A função dada é
Queremos saber se ela é diferenciável em (0,0). Para isso vamos precisar lembrar que diferenciabilidade em R^2 implica existência de derivadas parciais no ponto e que o erro entre f e sua aproximação linear deve ser
.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais em (0,0):
Para (derivada em relação a x) usamos
Para
De forma análoga, para
(em y), fixando
e variando
, obtemos também 0. Logo a aproximação linear candidata em (0,0) é
.
Passo 3
Para ser diferenciável, além das parciais, f deve ser contínua em (0,0), isto é
deve coincidir com
. Mas ao seguir o caminho
, temos
então
Isso mostra que f não é contínua em (0,0).
Passo 4
Como diferenciabilidade implica continuidade, e aqui a função não é contínua no ponto, concluímos que f não é diferenciável em (0,0).
Resposta
Não. A função não é diferenciável em (0,0).