Considere a função
f(x, y)=cc x yx^2+x y+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
f é diferenciável em (0,0) ?

Passo 1

A função dada é
f(x,y)=xyx^2+xy+y^2,&(x,y)neq(0,0)0,&(x,y)=(0,0)
Queremos saber se ela é diferenciável em (0,0). Para isso vamos precisar lembrar que diferenciabilidade em R^2 implica existência de derivadas parciais no ponto e que o erro entre f e sua aproximação linear deve ser o(raizx^2+y^2).

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais em (0,0):
Para D1f(0,0) (derivada em relação a x) usamos
D1f(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h=limhto00-0h=0
De forma análoga, para D2f(0,0) (em y), fixando x=0 e variando y, obtemos também 0. Logo a aproximação linear candidata em (0,0) é L(h,k)=0.

Passo 3

Para ser diferenciável, além das parciais, f deve ser contínua em (0,0), isto é
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
deve coincidir com f(0,0)=0. Mas ao seguir o caminho y=x, temos
f(x,x)=xcdot xx^2+x^2+x^2=x^23x^2=13,
então
limxto0f(x,x)=13neq0
Isso mostra que f não é contínua em (0,0).

Passo 4

Como diferenciabilidade implica continuidade, e aqui a função não é contínua no ponto, concluímos que f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

Não. A função não é diferenciável em (0,0).

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