Determine, caso existam, os seguintes limites:
.
Passo 1
O enunciado pede para analisar o limite de uma função de duas variáveis: dado
vamos estudar
e ver se existe um valor único. Para isso precisamos usar o conceito de limites em
: se existir, deve ser o mesmo por qualquer caminho de aproximação.
Passo 2
Primeiro, teste caminhos simples. Se você aproximar pelo eixo
, então
Se aproximar pelo eixo
,
Em ambos os casos o limite dá
, mas isso não garante existência geral.
Passo 3
Para verificar existência, experimente uma família de curvas que capture mais informação. Considere:
com parâmetro real
. Substituindo em
:
Note que ao simplificar os
o resultado não depende de
, mas depende de
.
Passo 4
Como para cada valor de
a expressão
é diferente, o limite varia com o caminho. Concluímos que não há um valor único para o limite quando
.
Resposta
O limite não existe.