Determine, caso existam, os seguintes limites:
(0,7) lim (x, y) (0,0) 5 x y^2x^2+3 y^4.

Passo 1

O enunciado pede para analisar o limite de uma função de duas variáveis: dado
f(x,y)=5xy^2x^2+3y^4,
vamos estudar (x,y)to(0,0) e ver se existe um valor único. Para isso precisamos usar o conceito de limites em R^2: se existir, deve ser o mesmo por qualquer caminho de aproximação.

Passo 2

Primeiro, teste caminhos simples. Se você aproximar pelo eixo x=0, então
f(0,y)=5cdot0cdot y^20^2+3y^4=0
Se aproximar pelo eixo y=0,
f(x,0)=5xcdot0^2x^2+3cdot0^4=0
Em ambos os casos o limite dá 0, mas isso não garante existência geral.

Passo 3

Para verificar existência, experimente uma família de curvas que capture mais informação. Considere:
x=ky^2,
com parâmetro real k. Substituindo em f(x,y):
f(ky^2,y)=5,(ky^2),y^2(ky^2)^2+3y^4 =5k,y^4k^2y^4+3y^4 =5kk^2+3
Note que ao simplificar os y^4 o resultado não depende de y, mas depende de k.

Passo 4

Como para cada valor de k a expressão
5kk^2+3
é diferente, o limite varia com o caminho. Concluímos que não há um valor único para o limite quando (x,y)to(0,0).

Resposta

O limite não existe.

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