Seja
g(t)=f(e^3 t, 5 t^4+t^2, cos t)
onde f é uma função diferenciável.
Expresse g^prime(t) em termos das derivadas parciais de f.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função composta $ g(t) = f\left(e^{3 t}, 5 t{4}+t{2}, \cos t\right) $, onde $ f $ é uma função diferenciável de três variáveis. O objetivo é encontrar a derivada de $ g(t) $, ou seja, $ g’(t) $, em termos das derivadas parciais de $ f $.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que $ g(t) $ é uma função composta. Isso significa que $ g(t) $ é composta por $ f $ e outras funções internas que dependem de $ t $. Para derivar $ g(t) $, vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 3

A regra da cadeia para funções de várias variáveis nos diz que a derivada de $ g(t) $ em relação a $ t $ é a soma das derivadas parciais de $ f $ em relação a cada uma de suas variáveis, multiplicadas pela derivada dessas variáveis em relação a $ t $. Matemáticamente, isso fica assim:
g(t)
Onde $ x = e^{3 t} $, $ y = 5 t^{4} + t^{2} $, e $ z = \cos t $.

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas de $ x $, $ y $ e $ z $ em relação a $ t $:
  • Para $ x = e^{3 t} $:
x
  • Para $ y = 5 t^{4} + t^{2} $:
y
  • Para $ z = \cos t $:
z

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas na expressão da regra da cadeia:
g'(t) = partial fpartial x cdot 3 e^3 t + partial fpartial y cdot (20 t^3 + 2 t) + partial fpartial z cdot (-sin t)

Passo 6

Para finalizar, podemos simplificar a expressão:
g'(t) = 3 e^3 t cdot partial fpartial x + (20 t^3 + 2 t) cdot partial fpartial y - sin t cdot partial fpartial z

Resposta

A derivada $ g’(t) $ em termos das derivadas parciais de $ f $ é:
g'(t)

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