Seja
onde
é uma função diferenciável.
Expresse
em termos das derivadas parciais de
.
Expresse
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função composta $ g(t) = f\left(e^{3 t}, 5 t{4}+t{2}, \cos t\right) $, onde $ f $ é uma função diferenciável de três variáveis. O objetivo é encontrar a derivada de $ g(t) $, ou seja, $ g’(t) $, em termos das derivadas parciais de $ f $.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que $ g(t) $ é uma função composta. Isso significa que $ g(t) $ é composta por $ f $ e outras funções internas que dependem de $ t $. Para derivar $ g(t) $, vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis.
Passo 3
A regra da cadeia para funções de várias variáveis nos diz que a derivada de $ g(t) $ em relação a $ t $ é a soma das derivadas parciais de $ f $ em relação a cada uma de suas variáveis, multiplicadas pela derivada dessas variáveis em relação a $ t $. Matemáticamente, isso fica assim:
Onde $ x = e^{3 t} $, $ y = 5 t^{4} + t^{2} $, e $ z = \cos t $.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas de $ x $, $ y $ e $ z $ em relação a $ t $:
- Para $ x = e^{3 t} $:
- Para $ y = 5 t^{4} + t^{2} $:
- Para $ z = \cos t $:
Passo 5
Agora, substituímos essas derivadas na expressão da regra da cadeia:
Passo 6
Para finalizar, podemos simplificar a expressão:
Resposta
A derivada $ g’(t) $ em termos das derivadas parciais de $ f $ é: