Considere a função
Determine
para
e
caso exista.
Determine
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente analisar a função $ f(x, y) $ que é definida de duas maneiras diferentes: uma para quando
não é o ponto
e outra quando é exatamente
. O que a gente precisa fazer é calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, tanto para os pontos que não são
quanto para o ponto
em si, se essa derivada existir. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e, especificamente, a Regra do Quociente para derivar funções que são frações.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
para qualquer ponto
. A função é dada por:
Para derivar isso em relação a $ x $, usamos a Regra do Quociente, que diz que se temos uma função $ \frac{u}{v} $, então sua derivada é:
Aqui, $ u = x + 4y^3 $ e $ v = x^2 + y^2 $. Vamos calcular cada parte:
- Derivada de $ u $ em relação a $ x $:
(since $ y $ is tratado como uma constante quando derivamos em relação a $ x $).
- Derivada de $ v $ em relação a $ x $:
Agora, aplicando a Regra do Quociente:
Simplificando o numerador:
Então, a derivada parcial fica:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a derivada parcial
existe no ponto
. Para isso, usamos a definição de derivada parcial:
Vamos calcular cada parte:
- Calcular $ f(h, 0) $:
- Calcular $ f(0,0) = 0 $ (já dado no enunciado)
Então:
Quando $ h $ se aproxima de 0, $ \frac{1}{h^2} $ tende para o infinito. Isso significa que o limite não existe de forma finita.
Resposta
Para todo
, a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
No ponto
, a derivada parcial
não existe.