Considere a função f(x, y)=cccccx+4 y^3x^2+y^2 & , & (x, y) & neq(0,0) 0 & , & (x, y) & =(0,0)
Determine partial fpartial x(x, y) para (x, y) neq(0,0) e partial fpartial x(0,0) caso exista.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente analisar a função $ f(x, y) $ que é definida de duas maneiras diferentes: uma para quando f(x, y) não é o ponto (x, y) e outra quando é exatamente (0,0). O que a gente precisa fazer é calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, tanto para os pontos que não são (0,0) quanto para o ponto f em si, se essa derivada existir. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e, especificamente, a Regra do Quociente para derivar funções que são frações.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular partial fpartial x para qualquer ponto (x, y) neq (0,0). A função é dada por:
f(x, y) = x + 4y^3x^2 + y^2
Para derivar isso em relação a $ x $, usamos a Regra do Quociente, que diz que se temos uma função $ \frac{u}{v} $, então sua derivada é:
x
Aqui, $ u = x + 4y^3 $ e $ v = x^2 + y^2 $. Vamos calcular cada parte:
  1. Derivada de $ u $ em relação a $ x $:
uv
(since $ y $ is tratado como uma constante quando derivamos em relação a $ x $).
  1. Derivada de $ v $ em relação a $ x $:
ddx(uv) = v cdot dudx - u cdot dvdxv^2
Agora, aplicando a Regra do Quociente:
u = x + 4y^3
Simplificando o numerador:
v = x^2 + y^2
Então, a derivada parcial fica:
u

Passo 3

Agora, vamos verificar se a derivada parcial partial fpartial x existe no ponto (0,0). Para isso, usamos a definição de derivada parcial:
partial fpartial x(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0,0)h
Vamos calcular cada parte:
  1. Calcular $ f(h, 0) $:
f(h, 0)
  1. Calcular $ f(0,0) = 0 $ (já dado no enunciado)
Então:
f(h, 0) = h + 4(0)^3h^2 + 0^2 = hh^2 = 1h (para h neq 0)
Quando $ h $ se aproxima de 0, $ \frac{1}{h^2} $ tende para o infinito. Isso significa que o limite não existe de forma finita.

Resposta

Para todo (x, y) neq (0,0), a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
f
No ponto x , a derivada parcial partial fpartial x = -x^2 + y^2 - 8xy^3(x^2 + y^2)^2 não existe.

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