Parte I - Determine a solução geral de cada uma das equações diferenciais ordinárias seguintes, justificando suas respostas:
(x^2+1) y^prime+x y=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente resolver uma equação diferencial ordinária do tipo . Isso tá ligado ao conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de primeira ordem. Pra resolver, vamos precisar identificar os coeficientes e aplicar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação pra ficar no formato padrão de uma equação diferencial linear: y' + xx^2+1 y = 1x^2+1 . Pra isso, dividimos toda a equação por :

Passo 3

Agora, identificamos e . O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é .

Passo 4

Vamos calcular a integral de integral xx^2+1 dx :
integral xx^2+1 dx = 12 integral 1u du = 12 ln|u| + C = 12 ln(x^2+1) + C
Fazendo a substituição , então , ou seja, . Assim:

Passo 5

Então, o fator integrante é:
e^12 ln(x^2+1) = (x^2+1)^1/2 = raizx^2+1
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
raizx^2+1 cdot y' + xraizx^2+1 y = 1raizx^2+1

Passo 6

Agora, a equação está na forma que permite reescrever o lado esquerdo como a derivada de ddx(y cdot raizx^2+1) = 1raizx^2+1 :

Passo 7

Integramos ambos os lados em relação a y cdot raizx^2+1 = integral 1raizx^2+1 dx + C :
A integral é ou .

Passo 8

Então, temos:
y cdot raizx^2+1 = ln(x + raizx^2+1) + C
Finalmente, isolando y = ln(x + raizx^2+1) + Craizx^2+1 :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = ln(x + raizx^2+1) + Craizx^2+1
onde é a constante de integração.

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