Parte I - Determine a solução geral de cada uma das equações diferenciais ordinárias seguintes, justificando suas respostas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente resolver uma equação diferencial ordinária do tipo
. Isso tá ligado ao conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de primeira ordem. Pra resolver, vamos precisar identificar os coeficientes e aplicar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação pra ficar no formato padrão de uma equação diferencial linear:
. Pra isso, dividimos toda a equação por
:
Passo 3
Agora, identificamos
e
. O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é
.
Passo 4
Vamos calcular a integral de
:
Fazendo a substituição
, então
, ou seja,
. Assim:
Passo 5
Então, o fator integrante é:
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Passo 6
Agora, a equação está na forma que permite reescrever o lado esquerdo como a derivada de
:
Passo 7
Integramos ambos os lados em relação a
:
A integral
é
ou
.
Passo 8
Então, temos:
Finalmente, isolando
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração.