Considere a função f(x, y)=ccx+y^4x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0).
Determine: partial fpartial x(x, y) para (x, y) neq(0,0) e partial fpartial x(0,0) ; partial fpartial y(x, y) para (x, y) neq(0,0) e partial fpartial y(0,0).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfracx+y^4x^2+y^2,&se (x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&se (x,y)=(0,0),
e pede as derivadas parciais. Para (x,y)neq(0,0) vamos usar a regra do quociente, e em (0,0) vamos usar a definição de derivada parcial por limite de diferença.]

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0) escrevemos
u(x,y)=x+y^4, v(x,y)=x^2+y^2,
então
partial fpartial x =ux,v - u,vxv^2 =1cdot(x^2+y^2)-(x+y^4)cdot2x(x^2+y^2)^2
Simplificando o numerador:
(x^2+y^2)-2x(x+y^4) =-x^2+y^2-2x,y^4
Portanto, para (x,y)neq(0,0),
partial fpartial x(x,y) =-x^2+y^2-2x,y^4(x^2+y^2)^2

Passo 3

Ainda para (x,y)neq(0,0), temos
uy=4y^3, vy=2y,
e pela regra do quociente:
partial fpartial y =4y^3,(x^2+y^2)-(x+y^4),2y(x^2+y^2)^2
Podemos deixar assim ou expandir o numerador:
4y^3(x^2+y^2)-2y(x+y^4) =4x^2y^3+4y^5-2xy-2y^5 =4x^2y^3+2y^5-2xy
Logo, para (x,y)neq(0,0),
partial fpartial y(x,y) =4y^3(x^2+y^2)-2y(x+y^4)(x^2+y^2)^2 =4x^2y^3+2y^5-2xy(x^2+y^2)^2

Passo 4

Agora partial fpartial x(0,0) pela definição:
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto0h+0h^2+0-0h =limhto01/hh =limhto01h^2
Esse limite diverge para +infty, logo partial fpartial x(0,0) não existe (é infinito).

Passo 5

Finalmente partial fpartial y(0,0):
partial fpartial y(0,0) =limhto0f(0,h)-f(0,0)h =limhto00+h^40+h^2-0h =limhto0h^2h =limhto0h =0

Resposta

Para (x,y)neq(0,0):
partial fpartial x(x,y) =-x^2+y^2-2x,y^4(x^2+y^2)^2, partial fpartial y(x,y) =4y^3(x^2+y^2)-2y(x+y^4)(x^2+y^2)^2
Em (0,0):
partial fpartial x(0,0) não existe, partial fpartial y(0,0)=0 ã

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