Verifique a definição formal de cada tipo de limite e qual se aplica aos limites dados abaixo e prove-os:
lim x -infty x+42 x-3=12

Passo 1

O enunciado nos pede para provar, usando a definição formal de limite, que
limxto-inftyx+42x-3=12
O conteúdo é limite de função quando xto-infty. Para resolver, vamos usar a definição envolvendo varepsilon e um valor M>0 tal que, para todo x<-M, tenhamos l|f(x)-Lr|<varepsilon.

Passo 2

Definição formal de limite em -infty: dizemos que
limxto-inftyf(x)=L
se, para todo varepsilon>0, existe M>0 tal que sempre que x<-M então
l|f(x)-Lr|<varepsilon

Passo 3

Calculemos a diferença entre a função e o candidato a limite L=tfrac12:
x+42x-3-12 =2(x+4)-(2x-3)2(2x-3) =112(2x-3)
Logo,
|x+42x-3-12| =112,l|2x-3r|

Passo 4

Para x<-M, o denominador não se anula e vale
|2x-3|=-(2x-3)=-2x+3
Além disso, de x<-M segue -2x>2M e, portanto,
-2x+3>2M+3
Assim,
|x+42x-3-12| =112(-2x+3) <112(2M+3)

Passo 5

Queremos que tfrac112(2M+3)<varepsilon. Isso equivale a
2M+3>112varepsilon Long<=ftrightarrow M>12l(112varepsilon-3r)
Logo, basta escolher
M=max!l1,;tfrac12l(tfrac112varepsilon-3r)r,
para garantir que, sempre que x<-M, teremos
|x+42x-3-12|<varepsilon

Resposta

limxto-inftyx+42x-3=12

Exercícios relacionados