Determine se a sequências dadas convergem ou divergem. Calcule os limites nos casos em que há convergência.
gn=2+ln (n)n

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência gn definida por
gn = 2 + ln(n)n,
e pede para determinar se ela converge ou diverge, calculando o limite caso haja convergência.
O conteúdo utilizado envolve limites de sequências, a propriedade de separação de soma em limites e o resultado clássico de que limntoinftyln(n)n=0.

Passo 2

Vamos escrever gn como soma de duas parcelas, pois a propriedade de limite diz que
limntoinftyl(an+bnr) =limntoinftyan+limntoinftybn,
desde que ambos os limites existam. Aqui tomamos
gn = 2n ;+;ln(n)n

Passo 3

Calculamos separadamente os limites de cada parcela:
1. Para a primeira parcela,
limntoinfty2n =0,
pois o numerador é constante e o denominador cresce sem limite.
2. Para a segunda parcela, consideramos a função contínua f(x)=ln(x)x em x>0. Pelo teorema de L’Hôpital (ou pelo conhecimento de taxas de crescimento),
limxtoinftyln(x)x =limxtoinfty(1/x)1 =0
Como f é contínua, isso implica
limntoinftyln(n)n=0

Passo 4

Pela propriedade de soma de limites,
limntoinftygn =limntoinfty2n +limntoinftyln(n)n =0+0 =0
Portanto, a sequência gn converge.

Resposta

A sequência converge e
limntoinftygn = 0

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