Considere a função
definida para todos os pares de números reais
.
(a) Calcule as derivadas parciais de
em um ponto genérico
.
(b) Calcule as derivadas parciais de
na origem.
(c)
é diferenciável na origem?
(a) Calcule as derivadas parciais de
(b) Calcule as derivadas parciais de
(c)
Passo 1
O enunciado define a função
em
e pede:
- (a) as derivadas parciais em um ponto
, - (b) as derivadas parciais na origem,
- (c) verificar se
é diferenciável na origem.
Para isso vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais em pontos não nulos, a definição de derivada parcial em
e o critério de diferenciabilidade via limite do resto dividido pela norma do incremento.
Passo 2
Em um ponto
definimos
Pela regra da cadeia:
Passo 3
Na origem usamos a definição
Como
, esse quociente tende a
. Logo
De modo idêntico para
:
Passo 4
Para a diferenciabilidade em
consideramos o resto
Queremos
pois
. Como esse limite é zero,
é diferenciável em
.
Resposta
(a)
(b)
(c) Sim,
é diferenciável na origem.