Considere a função f(x, y)=\cos \left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) definida para todos os pares de números reais (x, y).
(a) Calcule as derivadas parciais de f em um ponto genérico \left(x_{0}, y_{0}\right) \neq (0,0).
(b) Calcule as derivadas parciais de f na origem.
(c) f é diferenciável na origem?

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)=\cos\!\bigl(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\bigr)
em \mathbb{R}^2 e pede:
  • (a) as derivadas parciais em um ponto (x_{0},y_{0})\neq(0,0),
  • (b) as derivadas parciais na origem,
  • (c) verificar se f é diferenciável na origem.
Para isso vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais em pontos não nulos, a definição de derivada parcial em (0,0) e o critério de diferenciabilidade via limite do resto dividido pela norma do incremento.

Passo 2

Em um ponto (x,y)\neq(0,0) definimos
u(x,y)=\sqrt{x^2+y^2},\quad f(x,y)=\cos\bigl(u(x,y)\bigr).
Pela regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{df}{du}\cdot\frac{\partial u}{\partial x} =-\sin\bigl(u(x,y)\bigr)\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},
\frac{\partial f}{\partial y} =-\sin\bigl(u(x,y)\bigr)\cdot\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}.

Passo 3

Na origem usamos a definição
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) =\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{\cos\!\bigl(\sqrt{h^2}\bigr)-\cos(0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{\cos|h|-1}{h}.
Como \cos|h|-1\sim -\tfrac12h^2, esse quociente tende a 0. Logo
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0.
De modo idêntico para y:
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0.

Passo 4

Para a diferenciabilidade em (0,0) consideramos o resto
R(h,k)=f(h,k)-\bigl[f(0,0) +\tfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)\,h +\tfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)\,k\bigr] =\cos\bigl(\sqrt{h^2+k^2}\bigr)-1.
Queremos
\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{R(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}} =\lim_{r\to0}\frac{\cos(r)-1}{r} =0,
pois \cos(r)-1\sim -\tfrac12r^2. Como esse limite é zero, f é diferenciável em (0,0).

Resposta

(a)
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =-\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\, \sin\!\bigl(\sqrt{x^2+y^2}\bigr), \quad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =-\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\, \sin\!\bigl(\sqrt{x^2+y^2}\bigr).
(b)
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0.
(c) Sim, f é diferenciável na origem.

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