Esboçe o gráfico das seguintes funçōes.
Passo 1
O enunciado pede o esboço do polinômio
. Para traçar o gráfico, vamos precisar de:
– domínio e interceptos com eixos;
– pontos críticos e classificação de extremos (via );
– concavidade e pontos de inflexão (via );
– comportamento nas extremidades .
– domínio e interceptos com eixos;
– pontos críticos e classificação de extremos (via
– concavidade e pontos de inflexão (via
– comportamento nas extremidades
Passo 2
Domínio e zeros de
: o domínio é
. Para achar as raízes, fatoramos
que se anula em
Logo os interceptos em
são
e
.
Passo 3
Derivada primeira e extremos:
Dessa forma os pontos críticos são
Analisando o sinal de
em cada intervalo, vemos que
– em ocorre mínimo local com
– em
– em
ocorre máximo local com
.
Passo 4
Derivada segunda e concavidade:
Os pontos de inflexão surgem quando
, i.e.
Para
a concavidade é para baixo, e para
é para cima.
Passo 5
Combinando tudo temos:
– quando
;
– zeros em e
;
– máximo local em ;
– mínimos locais em ;
– pontos de inflexão em .
–
– zeros em
– máximo local em
– mínimos locais em
– pontos de inflexão em
A partir desse esqueleto de pontos e concavidades, traçamos o polinômio subindo em
, passando pelos mínimos em
, cruzando o eixo em
, e respeitando os pontos de inflexão indicados.
Resposta
O gráfico de
tem:
(1) domínio , com
em ambas as extremidades;
(2) interceptos em e
;
(3) máximo local em ;
(4) mínimos locais em ;
(5) pontos de inflexão em .
(1) domínio
(2) interceptos em
(3) máximo local em
(4) mínimos locais em
(5) pontos de inflexão em