Esboçe o gráfico das seguintes funçōes.
f(x)=2 x^{6}-6 x^{4}

Passo 1

O enunciado pede o esboço do polinômio f(x)=2x^6-6x^4. Para traçar o gráfico, vamos precisar de:
– domínio e interceptos com eixos;
– pontos críticos e classificação de extremos (via f'(x));
– concavidade e pontos de inflexão (via f''(x));
– comportamento nas extremidades x\to\pm\infty.

Passo 2

Domínio e zeros de f: o domínio é \mathbb{R}. Para achar as raízes, fatoramos
f(x)=2x^4(x^2-3),
que se anula em
x=0\quad\text{(multiplicidade 4)},\qquad x=\pm\sqrt{3}.
Logo os interceptos em x são (0,0) e \bigl(\pm\sqrt{3},0\bigr).

Passo 3

Derivada primeira e extremos:
f'(x)=12x^5-24x^3=12x^3(x^2-2).
Dessa forma os pontos críticos são
x=0,\quad x=\pm\sqrt{2}.
Analisando o sinal de f'(x) em cada intervalo, vemos que
– em x=-\sqrt{2} ocorre mínimo local com
f(\pm\sqrt{2})=2(\sqrt{2})^6-6(\sqrt{2})^4=16-24=-8;
– em x=0 ocorre máximo local com f(0)=0.

Passo 4

Derivada segunda e concavidade:
f''(x)=60x^4-72x^2=12x^2(5x^2-6).
Os pontos de inflexão surgem quando f''(x)=0, i.e.
x=0\quad\text{(multiplicidade 2)},\qquad x=\pm\sqrt{\tfrac{6}{5}}\approx\pm1{,}095.
Para |x|<\sqrt{\tfrac{6}{5}} a concavidade é para baixo, e para |x|>\sqrt{\tfrac{6}{5}} é para cima.

Passo 5

Combinando tudo temos:
f(x)\to+\infty quando x\to\pm\infty;
– zeros em x=0 e x=\pm\sqrt{3};
– máximo local em (0,0);
– mínimos locais em \bigl(\pm\sqrt{2},-8\bigr);
– pontos de inflexão em x=\pm\sqrt{\tfrac{6}{5}}.
A partir desse esqueleto de pontos e concavidades, traçamos o polinômio subindo em -\infty\to+\infty, passando pelos mínimos em \pm\sqrt{2}, cruzando o eixo em \pm\sqrt{3}, e respeitando os pontos de inflexão indicados.

Resposta

O gráfico de f(x)=2x^6-6x^4 tem:
(1) domínio \mathbb{R}, com f(x)\to+\infty em ambas as extremidades;
(2) interceptos em (0,0) e \bigl(\pm\sqrt{3},0\bigr);
(3) máximo local em (0,0);
(4) mínimos locais em \bigl(\pm\sqrt{2},-8\bigr);
(5) pontos de inflexão em x=\pm\sqrt{\tfrac{6}{5}}.

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