Considere a função f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}1-y, & y \leq-x \\\\ 1+x, & y>-x\end{array}\right., definida para todos os pares de números reais (x, y).
(a) Determine \delta>0 tal que |f(x, y)-f(1,-1)|<10^{-3} para todos os pontos (x, y) tais que \|(x, y)-(1,-1)\|<\delta.
(b) A função f é diferenciável no ponto (1,-1) ?

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= \begin{cases} 1 - y, & y \le -x,\\\\ 1 + x, & y > -x, \end{cases}
e pede em (a) um \delta>0 tal que
|f(x,y)-f(1,-1)|<10^{-3}
sempre que
\|(x,y)-(1,-1)\|<\delta.
Em (b) queremos checar se f é diferenciável em (1,-1).

Passo 2

Primeiro vamos calcular
f(1,-1).
Como em (1,-1) vale -1\le -1, usamos o ramo 1-y, logo
f(1,-1)=1-(-1)=2.

Passo 3

Agora, seja (x,y) com \|(x,y)-(1,-1)\|<\delta. Temos dois casos:
  1. Se y>-x, então
    f(x,y)=1+x \quad\Longrightarrow\quad |f(x,y)-2|=|1+x-2|=|x-1|<\delta.
  2. Se y\le -x, então
    f(x,y)=1-y \quad\Longrightarrow\quad |f(x,y)-2|=|1-y-2|=|y+1|<\delta.
Em qualquer caso, |f(x,y)-2|<\delta.

Passo 4

Para garantir |f(x,y)-2|<10^{-3}, basta escolher
\delta = 10^{-3}.

Passo 5

Para verificar diferenciabilidade em (1,-1) olhamos a derivada parcial em x vindo de direções opostas:
  • Se nos aproximamos em linha reta com y=-1 e h>0, então y>-x e \frac{f(1+h,-1)-f(1,-1)}{h} =\frac{(1+(1+h))-2}{h} =\frac{2+h-2}{h}=1.
  • Se h<0, então y\le -x e \frac{f(1+h,-1)-f(1,-1)}{h} =\frac{(1-(-1))-2}{h} =\frac{2-2}{h}=0.
Como essas duas derivadas direcionais são diferentes, f não é diferenciável em (1,-1).

Resposta

(a) \delta=10^{-3}.
(b) f não é diferenciável em (1,-1).

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