Considere a função f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}1-y, & y \leq-x \\\\ 1+x, & y>-x\end{array}\right., definida para todos os pares de números reais (x, y).
(a) Determine \delta>0 tal que |f(x, y)-f(1,-1)|<10^{-3} para todos os pontos (x, y) tais que \|(x, y)-(1,-1)\|<\delta.
(b) A função f é diferenciável no ponto (1,-1) ?
Passo 1
O enunciado define
f(x,y)= \begin{cases} 1 - y, & y \le -x,\\\\ 1 + x, & y > -x, \end{cases}
e pede em (a) um \delta>0 tal que
|f(x,y)-f(1,-1)|<10^{-3}
sempre que \|(x,y)-(1,-1)\|<\delta.
Em (b) queremos checar se f é diferenciável em (1,-1).
Passo 2
Primeiro vamos calcular
f(1,-1).
Como em (1,-1) vale -1\le -1, usamos o ramo 1-y, logo
f(1,-1)=1-(-1)=2.
Passo 3
Agora, seja (x,y) com \|(x,y)-(1,-1)\|<\delta. Temos dois casos: