Determine e faça um esboço do domínio das seguintes funções:
(b) f(x, y)=\frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{y^{2}-x^{2}}}+\ln (2-x)

Passo 1

O enunciado pede o domínio de
f(x,y)=\frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{y^{2}-x^{2}}}+\ln(2-x).
Para encontrar o domínio, precisamos garantir que cada parte da função esteja bem definida:
  1. O radicando de \sqrt{x+2} deve ser não-negativo.
  2. O radicando de \sqrt{y^{2}-x^{2}} deve ser positivo (pois está no denominador).
  3. O argumento de \ln(2-x) deve ser positivo.

Passo 2

Condição para \sqrt{x+2} existir:
x + 2 \ge 0
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x \ge -2.

Passo 3

Condição para \sqrt{y^{2}-x^{2}} no denominador:
y^{2} - x^{2} > 0
isto é
y^{2} > x^{2} \quad\Longleftrightarrow\quad |y| > |x|.

Passo 4

Condição para \ln(2-x) existir:
2 - x > 0
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x < 2.

Passo 5

Fazendo a interseção das três condições:
-2 \le x < 2 \quad\text{e}\quad |y| > |x|.
Assim o domínio é
D = \bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid -2 \le x < 2,\;|y| > |x|\bigr\}.

Passo 6

Esboço do domínio no plano xy:
  • Trace a reta vertical x=-2 (inclusa) e a reta vertical x=2 (não inclusa).
  • Trace as retas y=x e y=-x.
  • O domínio são os dois “páreos” entre x=-2 e x=2 para os quais |y|>|x|; ou seja, a região acima de y=x e abaixo de y=-x, sujeita a -2\le x<2.
Segue um esboço aproximado (região sombreada é o domínio):
 y
 ↑
 | \(\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\)
 | • domínio •
 | /| •
 | / | •
 | / | •
----+--/---+---+---+---+---+---+----> x
 -\(202\)
 | \ | •
 | \ | •
 | \| •
 | • domínio •
 | \(\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\bullet\)

Resposta

D = \bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid -2 \le x < 2,\;|y| > |x|\bigr\}.

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