Considere a função f(x, y)=\frac{3(x-1)^{2}+(y-1)^{2}}{x^{2}-y^{2}}.
O limite \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y) existe? Justifique.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=\frac{3(x-1)^{2}+(y-1)^{2}}{x^{2}-y^{2}}
e pede para investigar se \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)
existe. O conteúdo aqui é análise de limites de funções de duas variáveis por diferentes caminhos.

Passo 2

Calcular o limite do numerador conforme (x,y)\to(0,0). Definindo
N(x,y)=3(x-1)^{2}+(y-1)^{2},
temos
\lim_{(x,y)\to(0,0)}N(x,y)=3(-1)^{2}+(-1)^{2}=4.

Passo 3

Observar o comportamento do denominador
D(x,y)=x^{2}-y^{2}
quando (x,y)\to(0,0). Claramente \lim_{(x,y)\to(0,0)}D(x,y)=0,
porém o sinal e a taxa de aproximação dependem do caminho seguido, o que pode gerar valores de f que divergem de formas distintas.

Passo 4

Analisar o caminho y=0. Nesse caso
f(x,0)=\frac{3(x-1)^{2}+1}{x^{2}}.
Como \lim_{x\to0}(3(x-1)^{2}+1)=4, segue que
f(x,0)\sim\frac{4}{x^{2}}\quad\Longrightarrow\quad\lim_{x\to0}f(x,0)=+\infty.

Passo 5

Analisar o caminho x=0. Nesse caso
f(0,y)=\frac{3\cdot1+(y-1)^{2}}{-y^{2}}=\frac{3+(y-1)^{2}}{-y^{2}}.
Como \lim_{y\to0}(3+(y-1)^{2})=4, segue que
f(0,y)\sim\frac{4}{-y^{2}}\quad\Longrightarrow\quad\lim_{y\to0}f(0,y)=-\infty.

Passo 6

Vemos que por um caminho f\to+\infty e por outro f\to-\infty. Não há um valor único, nem mesmo infinito em um só sentido. Portanto o limite não existe.

Resposta

O limite \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) não existe.

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