Considere a função
.
O limite
existe? Justifique.
O limite
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para investigar se
existe. O conteúdo aqui é análise de limites de funções de duas variáveis por diferentes caminhos.
existe. O conteúdo aqui é análise de limites de funções de duas variáveis por diferentes caminhos.
Passo 2
Calcular o limite do numerador conforme
. Definindo
temos
Passo 3
Observar o comportamento do denominador
quando
. Claramente
,
porém o sinal e a taxa de aproximação dependem do caminho seguido, o que pode gerar valores de que divergem de formas distintas.
porém o sinal e a taxa de aproximação dependem do caminho seguido, o que pode gerar valores de
Passo 4
Analisar o caminho
. Nesse caso
Como
, segue que
Passo 5
Analisar o caminho
. Nesse caso
Como
, segue que
Passo 6
Vemos que por um caminho
e por outro
. Não há um valor único, nem mesmo infinito em um só sentido. Portanto o limite não existe.
Resposta
O limite
não existe.