Considere a função f(x, y)=\frac{3(x-1)^{2}+(y-1)^{2}}{x^{2}-y^{2}}.
Determine e esboce, em um mesmo sistema de coordenadas, o domínio de f e as curvas de nível c=2 e c=-2 de f.

Passo 1

O enunciado dá
f(x,y)=\frac{3(x-1)^{2}+(y-1)^{2}}{x^{2}-y^{2}}
e pede (i) o domínio de f e (ii) as curvas de nível de valor c=2 e c=-2, tudo num mesmo esboço. Vamos usar que o domínio de uma função racional em duas variáveis exclui onde o denominador zera, e que curva de nível de valor c é o conjunto de pontos (x,y) tais que f(x,y)=c.

Passo 2

Para achar o domínio basta impor
x^{2}-y^{2}\neq 0
porque isso é o denominador de f. Como
x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y),
temos que o domínio é
\mathbb{R}^{2}\setminus\bigl\{(x,y)\mid y=x\text{ ou }y=-x\bigr\}.
Geometricamente são todos os pontos do plano, exceto as duas retas y=x e y=-x.

Passo 3

Agora a curva de nível c=2 é dado por
\frac{3(x-1)^{2}+(y-1)^{2}}{x^{2}-y^{2}}=2.
Multiplicando ambos os lados por x^{2}-y^{2} (que não é zero no domínio), fica
3(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=2\bigl(x^{2}-y^{2}\bigr).
Expandindo o lado esquerdo:
3(x^{2}-2x+1)+(y^{2}-2y+1)=2x^{2}-2y^{2},
ou seja
3x^{2}-6x+3+y^{2}-2y+1=2x^{2}-2y^{2}.
Reagrupando tudo num lado:
(3x^{2}-2x^{2})+(y^{2}+2y^{2})-6x-2y+(3+1)=0 \;\Longrightarrow\; x^{2}+3y^{2}-6x-2y+4=0.

Passo 4

Para pôr em forma canônica completamos quadrados. Note que
x^{2}-6x=(x-3)^{2}-9, \qquad 3y^{2}-2y=3\Bigl((y-\tfrac13)^{2}-\tfrac19\Bigr)=3(y-\tfrac13)^{2}-\tfrac13.
Substituindo em x^{2}+3y^{2}-6x-2y+4=0
(x-3)^{2}-9 + 3(y-\tfrac13)^{2}-\tfrac13 +4 =0 \;\Longrightarrow\; (x-3)^{2}+3(y-\tfrac13)^{2}=\frac{16}{3}.
Isso é uma elipse centrada em \bigl(3,\tfrac13\bigr), com semi-eixo horizontal \sqrt{16/3} e semi-eixo vertical \sqrt{\tfrac{16}{9}}=\tfrac{4}{3}.

Passo 5

Para a curva de nível c=-2 resolvemos
\frac{3(x-1)^{2}+(y-1)^{2}}{x^{2}-y^{2}}=-2 \;\Longrightarrow\; 3(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=-2(x^{2}-y^{2}).
Expandindo o lado esquerdo e somando 2x^{2}-2y^{2} a ambos:
3(x^{2}-2x+1)+(y^{2}-2y+1)+2x^{2}-2y^{2}=0 \;\Longrightarrow\; 5x^{2}-6x -y^{2}-2y+4=0.

Passo 6

Completa quadrados em 5x^{2}-6x e em -y^{2}-2y. Temos
5\bigl(x^{2}-\tfrac65x\bigr)=5\Bigl((x-\tfrac35)^{2}-\tfrac{9}{25}\Bigr)=5(x-\tfrac35)^{2}-\tfrac95,
-y^{2}-2y = -\bigl((y+1)^{2}-1\bigr)=-(y+1)^{2}+1.
Então
5(x-\tfrac35)^{2}-\tfrac95 \;-\;(y+1)^{2}+1 +4=0 \;\Longrightarrow\; 5(x-\tfrac35)^{2}-(y+1)^{2}=-\tfrac{16}{5}.
Multiplicando por -1 e dividindo por \tfrac{16}{5} obtemos a forma padrão de hipérbole:
\frac{(y+1)^{2}}{\tfrac{16}{5}} \;-\;\frac{(x-\tfrac35)^{2}}{\tfrac{16}{25}} = 1.
É uma hipérbole centrada em \bigl(\tfrac35,-1\bigr) com eixo transverso vertical.

Passo 7

No esboço final desenhamos:
– as retas y=x e y=-x tracejadas (são exclusões do domínio);
– a elipse \displaystyle (x-3)^{2}+3\bigl(y-\tfrac13\bigr)^{2}=\tfrac{16}{3} para c=2;
– a hipérbole \displaystyle \frac{(y+1)^{2}}{16/5}-\frac{(x-3/5)^{2}}{16/25}=1 para c=-2.

Resposta

O domínio de f é
\mathbb{R}^{2}\setminus\{(x,y)\mid x^{2}=y^{2}\},
isto é, todo o plano menos as retas y=x e y=-x.
A curva de nível c=2 é a elipse
(x-3)^{2}+3\bigl(y-\tfrac13\bigr)^{2}=\tfrac{16}{3},
e a curva de nível c=-2 é a hipérbole
\frac{(y+1)^{2}}{16/5}-\frac{(x-3/5)^{2}}{16/25}=1.

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