Considere a função
.
Determine e esboce, em um mesmo sistema de coordenadas, o domínio de
e as curvas de nível
e
de
.
Determine e esboce, em um mesmo sistema de coordenadas, o domínio de
Passo 1
O enunciado dá
e pede (i) o domínio de
e (ii) as curvas de nível de valor
e
, tudo num mesmo esboço. Vamos usar que o domínio de uma função racional em duas variáveis exclui onde o denominador zera, e que curva de nível de valor
é o conjunto de pontos
tais que
.
Passo 2
Para achar o domínio basta impor
porque isso é o denominador de
. Como
temos que o domínio é
Geometricamente são todos os pontos do plano, exceto as duas retas
e
.
Passo 3
Agora a curva de nível
é dado por
Multiplicando ambos os lados por
(que não é zero no domínio), fica
Expandindo o lado esquerdo:
ou seja
Reagrupando tudo num lado:
Passo 4
Para pôr em forma canônica completamos quadrados. Note que
Substituindo em
dá
Isso é uma elipse centrada em
, com semi-eixo horizontal
e semi-eixo vertical
.
Passo 5
Para a curva de nível
resolvemos
Expandindo o lado esquerdo e somando
a ambos:
Passo 6
Completa quadrados em
e em
. Temos
Então
Multiplicando por
e dividindo por
obtemos a forma padrão de hipérbole:
É uma hipérbole centrada em
com eixo transverso vertical.
Passo 7
No esboço final desenhamos:
– as retas e
tracejadas (são exclusões do domínio);
– a elipse para
;
– a hipérbole para
.
– as retas
– a elipse
– a hipérbole
Resposta
O domínio de
é
isto é, todo o plano menos as retas
e
.
A curva de nível
é a elipse
e a curva de nível
é a hipérbole