Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=|x|.
a) Encontre uma curva \gamma: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{2} derivável cuja imagem é o gráfico de f.
b) Usando a curva obtida no item anterior, mostre que se t_{0} é tal que \gamma\left(t_{0}\right)=(0,0), então \gamma^{\prime}\left(t_{0}\right)= (0,0). Interprete geometricamente.

Passo 1

O enunciado pede para parametrizar o gráfico da função
f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad f(x)=|x|,
isto é, o conjunto
\bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : y=|x|\bigr\},
por uma curva \gamma\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2 que seja derivável em todo \mathbb{R}. Em seguida, usando essa curva, devemos mostrar que no ponto (0,0) a derivada de \gamma é o vetor nulo e interpretar geometricamente esse fato.

Passo 2

Proponho a parametrização
\gamma(t) = \bigl(t\,|t|,\;t^2\bigr).
Para ver que sua imagem é exatamente o gráfico de f, note que, para todo t,
x(t)=t\,|t|,\quad y(t)=t^2,
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y(t)=t^2 = |t|^2 = |\,t\,|\,|t| = |\,t\,|^2 \quad\text{e}\quad x(t)=t\,|t|\in\{\pm t^2\}.
Invertendo y=t^2, obtemos |t|=\sqrt{y} e
x = t\,|t| = \pm y,
de modo que (x,y) satisfaz y=|x|. Assim \mathrm{Im}(\gamma)=\{(x,y):y=|x|\}.

Passo 3

Vamos verificar que \gamma é de classe C^1. As componentes são
\gamma_1(t)=t\,|t|,\quad \gamma_2(t)=t^2.
Para t\neq0 tem-se
\gamma_1'(t) = 2\,|t|,\qquad \gamma_2'(t) = 2\,t.
Em t=0 calculamos
\gamma_1'(0) = \lim_{h\to0}\frac{h\,|h|-0}{h} = \lim_{h\to0}|h| = 0, \qquad \gamma_2'(0)=\lim_{h\to0}\frac{(0+h)^2-0}{h} =\lim_{h\to0}h=0.
Como \gamma_1' e \gamma_2' são contínuas em 0, \gamma é derivável em todo \mathbb{R}.

Passo 4

Queremos o t_0 tal que \gamma(t_0)=(0,0). Da segunda componente t_0^2=0 segue t_0=0. Então
\gamma'(0) = \bigl(\gamma_1'(0),\,\gamma_2'(0)\bigr) = (0,0).

Passo 5

Geometricamente, esse resultado mostra que no vértice do “V” dado por y=|x| não há direção tangente bem determinada: qualquer curva derivável que passe pelo ponto (0,0) e descreva o gráfico de f deve ter velocidade zero ali, o que indica um ponto de canto (cúspide) sem reta tangente única.

Resposta

a) Uma parametrização adequada é
\gamma(t) = \bigl(t\,|t|,\;t^2\bigr).
b) O único t_{0} com \gamma(t_{0})=(0,0) é t_{0}=0, e calculando
\gamma'(0)=(0,0).
Geometricamente isso significa que o vértice do gráfico y=|x| é um ponto de canto sem tangente não nula.

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