Seja
dada por
.
a) Encontre uma curva
derivável cuja imagem é o gráfico de
.
b) Usando a curva obtida no item anterior, mostre que se
é tal que
, então
. Interprete geometricamente.
a) Encontre uma curva
b) Usando a curva obtida no item anterior, mostre que se
Passo 1
O enunciado pede para parametrizar o gráfico da função
isto é, o conjunto
por uma curva
que seja derivável em todo
. Em seguida, usando essa curva, devemos mostrar que no ponto
a derivada de
é o vetor nulo e interpretar geometricamente esse fato.
Passo 2
Proponho a parametrização
Para ver que sua imagem é exatamente o gráfico de
, note que, para todo
,
logo
Invertendo
, obtemos
e
de modo que
satisfaz
. Assim
.
Passo 3
Vamos verificar que
é de classe
. As componentes são
Para
tem-se
Em
calculamos
Como
e
são contínuas em
,
é derivável em todo
.
Passo 4
Queremos o
tal que
. Da segunda componente
segue
. Então
Passo 5
Geometricamente, esse resultado mostra que no vértice do “V” dado por
não há direção tangente bem determinada: qualquer curva derivável que passe pelo ponto
e descreva o gráfico de
deve ter velocidade zero ali, o que indica um ponto de canto (cúspide) sem reta tangente única.
Resposta
a) Uma parametrização adequada é
b) O único
com
é
, e calculando
Geometricamente isso significa que o vértice do gráfico
é um ponto de canto sem tangente não nula.