Determine e faça um esboço do domínio da seguinte função:
f(x, y)=\ln \left(x^{2}+y^{2}-4\right)+\frac{1}{\sqrt{16-x^{2}-y^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: determinar o domínio da função e fazer um esboço desse domínio. A função dada é
f(x, y)=\ln\!\left(x^{2}+y^{2}-4\right)+\frac{1}{\sqrt{16-x^{2}-y^{2}}}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função está definida para pares (x,y) reais (ou seja, o domínio será um subconjunto de \mathbb{R}^{2}).
  • A expressão envolve um \ln(\cdot) e uma raiz quadrada no denominador \sqrt{\cdot} — isso impõe restrições sobre os valores de x e y.
    O que é pedido explicitamente:
  • Encontrar todas as condições sobre (x,y) que tornam f(x,y) bem definida (ou seja, o domínio).
  • Fazer um esboço (gráfico) desse conjunto no plano xy.

Passo 2

Vamos entender, passo a passo, as restrições que cada parte da função impõe. Isso é teoria prática para usar na prova.
  1. Para o logaritmo natural \ln(\cdot): a função \ln(t) está definida só quando o argumento t é estritamente positivo. Ou seja, se aparece \ln(g(x,y)), é necessário ter
g(x,y)>0.
No nosso caso, o argumento do logaritmo é x^{2}+y^{2}-4. Portanto precisamos de
x^{2}+y^{2}-4>0.
Explicando em palavras: o número dentro do \ln não pode ser zero nem negativo — tem que ser maior que zero.
  1. Para a raiz quadrada no denominador \dfrac{1}{\sqrt{\cdot}}: primeiro, a raiz quadrada \sqrt{h(x,y)} exige h(x,y)\ge0. Mas como a raiz aparece no denominador, não podemos ter denomidador zero; ou seja, precisamos de h(x,y)>0 (estritamente positivo). No nosso caso h(x,y)=16-x^{2}-y^{2}. Logo precisamos de
16-x^{2}-y^{2}>0.
Explicando em palavras: a expressão dentro da raiz tem que ser positiva (não apenas não negativa), pois se fosse zero a divisão por zero ocorreria.

Passo 3

Agora escrevemos as desigualdades que obtivemos de forma mais direta e as combinamos.
Da condição do logaritmo:
x^{2}+y^{2}-4>0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+y^{2}>4.
Da condição da raiz no denominador:
16-x^{2}-y^{2}>0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+y^{2}<16.
Juntando as duas, a condição necessária e suficiente para que f esteja definida é
4 < x^{2}+y^{2} < 16.
Isto é uma desigualdade dupla que diz que o quadrado da distância ao ponto (0,0) (ou seja, r^{2} em coordenadas polares) está entre 4 e 16.

Passo 4

Interpretação geométrica e comentário didático (como resolver isso na prova):
  • Note que x^{2}+y^{2}=4 é a circunferência de centro na origem e raio 2. A condição x^{2}+y^{2}>4 significa estar fora (ou seja, no exterior) dessa circunferência; o contorno r=2 é excluído porque ali o argumento do \ln seria zero.
  • Note que x^{2}+y^{2}=16 é a circunferência de centro na origem e raio 4. A condição x^{2}+y^{2}<16 significa estar no interior dessa circunferência; o contorno r=4 é excluído porque ali a raiz seria zero e, por estar no denominador, ocorreria divisão por zero.
  • Portanto o domínio é a região entre as duas circunferências concêntricas de raios 2 e 4, sem incluir nenhuma das bordas. Em coordenadas polares ( x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta) isso fica simples: 2<r<4 e \theta livre em [0,2\pi).
Exemplos rápidos (úteis numa prova para checar respostas):
  • O ponto (3,0) tem x^{2}+y^{2}=9, satisfa z 4<9<16: pertence ao domínio.
  • O ponto (2,0) tem x^{2}+y^{2}=4: não pertence (argumento do \ln igual a zero).
  • O ponto (0,4) tem x^{2}+y^{2}=16: não pertence (denominador nulo).
  • O ponto (0,0) tem x^{2}+y^{2}=0: não pertence (log de número negativo).

Passo 5

Como esboçar rapidamente no caderno de prova (passo a passo prático):
  1. Desenhar os eixos x e y e marcar a origem.
  2. Fazer uma circunferência centrada na origem com raio 2 (escrever r=2) — traçar com linha tracejada para indicar que a borda não é incluída.
  3. Fazer outra circunferência concêntrica com raio 4 (escrever r=4) — também tracejada.
  4. Sombrear ou indicar a região entre as duas circunferências (zona anular), sem pintar as bordas. Anotar algo como 4<x^{2}+y^{2}<16 próximo ao sombreado para deixar claro o critério.

Resposta

D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 4<x^{2}+y^{2}<16\}
D=\{(r,\theta)\mid 2<r<4,\;0\le\theta<2\pi\}

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