Determine e faça um esboço do domínio da seguinte função:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: determinar o domínio da função e fazer um esboço desse domínio. A função dada é
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função está definida para pares
reais (ou seja, o domínio será um subconjunto de ). - A expressão envolve um
e uma raiz quadrada no denominador — isso impõe restrições sobre os valores de e .
O que é pedido explicitamente: - Encontrar todas as condições sobre
que tornam bem definida (ou seja, o domínio). - Fazer um esboço (gráfico) desse conjunto no plano
.
Passo 2
Vamos entender, passo a passo, as restrições que cada parte da função impõe. Isso é teoria prática para usar na prova.
- Para o logaritmo natural
: a função está definida só quando o argumento é estritamente positivo. Ou seja, se aparece , é necessário ter
No nosso caso, o argumento do logaritmo é
. Portanto precisamos de
Explicando em palavras: o número dentro do
não pode ser zero nem negativo — tem que ser maior que zero.
- Para a raiz quadrada no denominador
: primeiro, a raiz quadrada exige . Mas como a raiz aparece no denominador, não podemos ter denomidador zero; ou seja, precisamos de (estritamente positivo). No nosso caso . Logo precisamos de
Explicando em palavras: a expressão dentro da raiz tem que ser positiva (não apenas não negativa), pois se fosse zero a divisão por zero ocorreria.
Passo 3
Agora escrevemos as desigualdades que obtivemos de forma mais direta e as combinamos.
Da condição do logaritmo:
Da condição da raiz no denominador:
Juntando as duas, a condição necessária e suficiente para que
esteja definida é
Isto é uma desigualdade dupla que diz que o quadrado da distância ao ponto
(ou seja,
em coordenadas polares) está entre
e
.
Passo 4
Interpretação geométrica e comentário didático (como resolver isso na prova):
- Note que
é a circunferência de centro na origem e raio . A condição significa estar fora (ou seja, no exterior) dessa circunferência; o contorno é excluído porque ali o argumento do seria zero. - Note que
é a circunferência de centro na origem e raio . A condição significa estar no interior dessa circunferência; o contorno é excluído porque ali a raiz seria zero e, por estar no denominador, ocorreria divisão por zero. - Portanto o domínio é a região entre as duas circunferências concêntricas de raios
e , sem incluir nenhuma das bordas. Em coordenadas polares ( ) isso fica simples: e livre em .
Exemplos rápidos (úteis numa prova para checar respostas):
- O ponto
tem , satisfa z : pertence ao domínio. - O ponto
tem : não pertence (argumento do igual a zero). - O ponto
tem : não pertence (denominador nulo). - O ponto
tem : não pertence (log de número negativo).
Passo 5
Como esboçar rapidamente no caderno de prova (passo a passo prático):
- Desenhar os eixos
e e marcar a origem. - Fazer uma circunferência centrada na origem com raio
(escrever ) — traçar com linha tracejada para indicar que a borda não é incluída. - Fazer outra circunferência concêntrica com raio
(escrever ) — também tracejada. - Sombrear ou indicar a região entre as duas circunferências (zona anular), sem pintar as bordas. Anotar algo como
próximo ao sombreado para deixar claro o critério.