Considere a função f(x, y)=\frac{x-y}{x+4 y}
a) Encontre o domínio de f(x, y) e represente graficamente.
b) Mostre que f(x, y) é homogênea de grau zero.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=\dfrac{x-y}{x+4y} e pede duas coisas:
  • (a) Encontrar o domínio de f(x,y) e representar graficamente.
  • (b) Mostrar que f(x,y) é homogênea de grau zero.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função é uma razão entre duas expressões lineares em x e y.
  • Devemos ter atenção ao denominador x+4y, porque divisão por zero não é permitida.

Passo 2

Determinar o domínio: a única restrição óbvia é evitar divisão por zero. Escrevendo isso em matemática:
x+4y \neq 0.
Portanto o domínio é o conjunto de todos os pares (x,y) em que essa desigualdade vale:
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x+4y \neq 0\}.
Explanação didática: qualquer par (x,y) com x+4y=0 faria o denominador zero e a expressão não estaria definida. Fora essa reta, a função está definida em todo o plano.

Passo 3

Representação gráfica do domínio: a condição x+4y\neq0 descreve que devemos excluir do plano a reta dada por
x+4y=0,
que é equivalemente
y=-\frac{x}{4}.
Como desenhar/visualizar isso (passo a passo prático para a prova):
  • Trace os eixos x e y.
  • A reta passa pela origem (0,0) e tem coeficiente angular -\tfrac{1}{4}, ou seja, para cada aumento de 4 em x o y diminui 1.
  • Pontos de exemplo na reta: (4,-1), (0,0), (-4,1).
  • O domínio é o plano inteiro menos essa linha: são duas regiões conectadas (os dois semiplanos x+4y>0 e x+4y<0), abertas no sentido topológico, onde a função é bem definida e contínua.
Resumo visual a escrever na prova: “o domínio é \mathbb{R}^2 com a reta y=-\tfrac{x}{4} removida.”

Passo 4

Observação extra sobre pontos especiais (útil na prova): se x=0 então, desde que y\neq0, a função vale
f(0,y)=\frac{0-y}{0+4y}=-\frac{1}{4},
ou seja, sobre a vertical x=0 (exceto a origem quando esta pertence à reta excluída) a função é constante -\tfrac{1}{4}. Isso mostra coerência com a forma da reta excluída que passa pela origem.

Passo 5

Definição e explicação do que significa ser homogênea de grau k: uma função g(x,y) é homogênea de grau k se, para todo t\neq0,
g(tx,ty)=t^{k}\,g(x,y).
Aqui t é um escalar real não nulo que “escala” as coordenadas; k é o grau de homogeneidade. No caso k=0, a condição fica
g(tx,ty)=g(x,y)\quad\text{para todo }t\neq0,
ou seja, a função não muda quando se escala o vetor (x,y) — depende só da direção (razão entre x e y), não do comprimento.

Passo 6

Aplicar a definição a f. Calculemos f(tx,ty) para t\neq0 e para (x,y) tal que x+4y\neq0 (isso garante que t(x+4y)\neq0 e assim (tx,ty) também está no domínio):
f(tx,ty)=\frac{tx-ty}{tx+4ty}.
Fatorando t no numerador e no denominador:
f(tx,ty)=\frac{t(x-y)}{t(x+4y)}.
Como t\neq0, os fatores t cancelam:
f(tx,ty)=\frac{x-y}{x+4y}=f(x,y).
Concluímos que, para todo t\neq0 e para todo (x,y) com x+4y\neq0, vale f(tx,ty)=f(x,y). Isso é exatamente ser homogênea de grau zero.

Passo 7

Interpretação prática e exemplo numérico (para fixar a ideia): escolher (x,y)=(2,1)
f(2,1)=\frac{2-1}{2+4}= \frac{1}{6}.
Se escalarmos por t=3, (6,3)
f(6,3)=\frac{6-3}{6+12}=\frac{3}{18}=\frac{1}{6},
mesmo valor — demonstração numérica da homogeneidade de grau zero. Outra forma de ver a independência da escala é dividir numerador e denominador por x (quando x\neq0):
f(x,y)=\frac{1-\tfrac{y}{x}}{1+4\tfrac{y}{x}},
mostrando que f depende apenas da razão \tfrac{y}{x} (a “direção” do vetor (x,y)), não do tamanho.

Resposta

(a) D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x+4y\neq0\}. Graficamente: o plano \mathbb{R}^2 com a reta y=-\tfrac{x}{4} removida.
(b) Sim. Para todo t\neq0 e todo (x,y) com x+4y\neq0 vale f(tx,ty)=f(x,y); portanto f é homogênea de grau 0.

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