Considere a função
a) Encontre o domínio de
e represente graficamente.
b) Mostre que
é homogênea de grau zero.
a) Encontre o domínio de
b) Mostre que
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- (a) Encontrar o domínio de
e representar graficamente. - (b) Mostrar que
é homogênea de grau zero.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função é uma razão entre duas expressões lineares em
e . - Devemos ter atenção ao denominador
, porque divisão por zero não é permitida.
Passo 2
Determinar o domínio: a única restrição óbvia é evitar divisão por zero. Escrevendo isso em matemática:
Portanto o domínio é o conjunto de todos os pares
em que essa desigualdade vale:
Explanação didática: qualquer par
com
faria o denominador zero e a expressão não estaria definida. Fora essa reta, a função está definida em todo o plano.
Passo 3
Representação gráfica do domínio: a condição
descreve que devemos excluir do plano a reta dada por
que é equivalemente
Como desenhar/visualizar isso (passo a passo prático para a prova):
- Trace os eixos
e . - A reta passa pela origem
e tem coeficiente angular , ou seja, para cada aumento de em o diminui . - Pontos de exemplo na reta:
, , . - O domínio é o plano inteiro menos essa linha: são duas regiões conectadas (os dois semiplanos
e ), abertas no sentido topológico, onde a função é bem definida e contínua.
Resumo visual a escrever na prova: “o domínio é
com a reta
removida.”
Passo 4
Observação extra sobre pontos especiais (útil na prova): se
então, desde que
, a função vale
ou seja, sobre a vertical
(exceto a origem quando esta pertence à reta excluída) a função é constante
. Isso mostra coerência com a forma da reta excluída que passa pela origem.
Passo 5
Definição e explicação do que significa ser homogênea de grau
: uma função
é homogênea de grau
se, para todo
,
Aqui
é um escalar real não nulo que “escala” as coordenadas;
é o grau de homogeneidade. No caso
, a condição fica
ou seja, a função não muda quando se escala o vetor
— depende só da direção (razão entre
e
), não do comprimento.
Passo 6
Aplicar a definição a
. Calculemos
para
e para
tal que
(isso garante que
e assim
também está no domínio):
Fatorando
no numerador e no denominador:
Como
, os fatores
cancelam:
Concluímos que, para todo
e para todo
com
, vale
. Isso é exatamente ser homogênea de grau zero.
Passo 7
Interpretação prática e exemplo numérico (para fixar a ideia): escolher
dá
Se escalarmos por
,
dá
mesmo valor — demonstração numérica da homogeneidade de grau zero. Outra forma de ver a independência da escala é dividir numerador e denominador por
(quando
):
mostrando que
depende apenas da razão
(a “direção” do vetor
), não do tamanho.
Resposta
(a)
. Graficamente: o plano
com a reta
removida.
(b) Sim. Para todo e todo
com
vale
; portanto
é homogênea de grau
.
(b) Sim. Para todo