Verifique se a função é homogênea. Em caso afirmativo, determine o grau de homogeneidade.
f(x, y)=\cos \left(\frac{y}{x}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=\cos\!\left(\frac{y}{x}\right) e pede duas coisas:
  • Verificar se f é homogênea.
  • Se for, determinar o grau de homogeneidade.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão envolve a razão \dfrac{y}{x}, logo a função está definida apenas quando x\neq 0.
  • Não há outras restrições explícitas sobre y.

Passo 2

Vou lembrar (de forma prática) o que significa ser uma função homogênea e explicar cada símbolo usado.
Definição prática: uma função f(x,y) é homogênea de grau k se, para todo escalar t (onde as substituições são permitidas), vale
f(t x, t y)=t^{k}\,f(x,y).
O que cada coisa significa:
  • x,y são as variáveis da função.
  • t é um número real (ou positivo, conforme a convenção) usado para escalonar as variáveis; é preciso garantir que t x e t y fiquem no domínio da função.
  • k é o grau de homogeneidade (um número real). Se k=0, a função é invariável por escala: f(t x,t y)=f(x,y).
No nosso caso, preciso testar se existe um k tal que a igualdade acima seja verdadeira para todos x,y,t admissíveis.

Passo 3

Calcular f(t x,t y) substituindo diretamente (tx,ty) na expressão dada:
f(t x,t y)=\cos\!\left(\frac{t y}{t x}\right).
Agora simplifico a fração dentro do cosseno. Como t x\neq 0 (ou seja, preciso de t\neq 0 e x\neq 0), posso cancelar t:
\frac{t y}{t x}=\frac{y}{x}.
Portanto
f(t x,t y)=\cos\!\left(\frac{y}{x}\right).

Passo 4

Comparo o resultado com f(x,y). Pela definição da função,
f(x,y)=\cos\!\left(\frac{y}{x}\right).
Logo, para todo t tal que as expressões estejam definidas (isto é, t\neq 0 e x\neq 0),
f(t x,t y)=\cos\!\left(\frac{y}{x}\right)=f(x,y).
Isto é exatamente a identidade
f(t x,t y)=t^{0}f(x,y),
portanto a função é homogênea de grau k=0.

Passo 5

Observações úteis para a prova e intuição:
  • A razão é óbvia: funções que dependem apenas do quociente \dfrac{y}{x} são invariantes por escala, porque multiplicar x e y pelo mesmo escalar não altera a razão. Isso caracteriza homogeneidade de grau 0.
  • Atenção ao domínio: x não pode ser 0. Para t=0 a expressão f(tx,ty) fica indefinida (pois t x=0), então a verificação feita vale para t\neq 0; muitas vezes nas definições usa-se t>0, mas o resultado (grau 0) permanece válido.
  • Exemplo rápido numérico para fixar: escolha (x,y)=(1,2). Então f(1,2)=\cos(2). Para t=3, f(3,6)=\cos(6/3)=\cos(2)=f(1,2). Veja que escala não muda o valor — grau 0.
  • Dica extra: funções do tipo f(x,y)=x^{k}\,g\!\left(\frac{y}{x}\right) são homogêneas de grau k. No caso dado, é como se k=0 e g(u)=\cos(u).

Resposta

Sim. Grau de homogeneidade 0.

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