Verifique se a função é homogênea. Em caso afirmativo, determine o grau de homogeneidade.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Verificar se
é homogênea. - Se for, determinar o grau de homogeneidade.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão envolve a razão
, logo a função está definida apenas quando . - Não há outras restrições explícitas sobre
.
Passo 2
Vou lembrar (de forma prática) o que significa ser uma função homogênea e explicar cada símbolo usado.
Definição prática: uma função
é homogênea de grau
se, para todo escalar
(onde as substituições são permitidas), vale
O que cada coisa significa:
-
são as variáveis da função. -
é um número real (ou positivo, conforme a convenção) usado para escalonar as variáveis; é preciso garantir que e fiquem no domínio da função. -
é o grau de homogeneidade (um número real). Se , a função é invariável por escala: .
No nosso caso, preciso testar se existe um
tal que a igualdade acima seja verdadeira para todos
admissíveis.
Passo 3
Calcular
substituindo diretamente
na expressão dada:
Agora simplifico a fração dentro do cosseno. Como
(ou seja, preciso de
e
), posso cancelar
:
Portanto
Passo 4
Comparo o resultado com
. Pela definição da função,
Logo, para todo
tal que as expressões estejam definidas (isto é,
e
),
Isto é exatamente a identidade
portanto a função é homogênea de grau
.
Passo 5
Observações úteis para a prova e intuição:
- A razão é óbvia: funções que dependem apenas do quociente
são invariantes por escala, porque multiplicar e pelo mesmo escalar não altera a razão. Isso caracteriza homogeneidade de grau . - Atenção ao domínio:
não pode ser . Para a expressão fica indefinida (pois ), então a verificação feita vale para ; muitas vezes nas definições usa-se , mas o resultado (grau ) permanece válido. - Exemplo rápido numérico para fixar: escolha
. Então . Para , . Veja que escala não muda o valor — grau . - Dica extra: funções do tipo
são homogêneas de grau . No caso dado, é como se e .
Resposta
Sim. Grau de homogeneidade
.