Verifique se a função é homogênea. Em caso afirmativo, determine o grau de homogeneidade.
Passo 1
O que o enunciado pede: verificar se a função
é homogênea e, em caso afirmativo, determinar o grau de homogeneidade.
Informações dadas:
- A função é
. - Observação importante sobre domínio: a expressão
exige que . Logo o domínio relevante é . - Não há outras restrições no enunciado.
Passo 2
Definição de homogênea (explicada passo a passo):
Uma função de duas variáveis é dita homogênea de grau
se, para todo escalar
(normalmente
) e todo
do domínio, vale
Uma função de duas variáveis
O que isso significa em palavras: ao multiplicar os dois argumentos por um mesmo fator
, o valor da função se multiplica por
.
- Aqui
é um número real chamado grau de homogeneidade. - Exemplo rápido e intuitivo:
é homogênea de grau porque .
Passo 3
Aplicando a definição à nossa função: calcular
.
Começo substituindo por
na fórmula:
Começo substituindo
Agora simplifico a fração dentro do seno (desde que
e
):
Portanto
Passo 4
Comparação com a forma
:
Como , da igualdade do passo anterior obtemos
Como
Isto mostra que a relação de homogeneidade vale com
. Sobre o intervalo de validade: a simplificação cancelou
e é válida para qualquer
(e lembrando
para que a função esteja bem definida). Logo a função é homogênea de grau
.
Passo 5
Interpretação didática e dicas para prova:
- Funções homogêneas de grau
são exatamente aquelas que não mudam quando multiplica-se por um fator comum; em outras palavras dependem só da razão . Aqui a função é explicitamente , então isso já é um indício forte. - Técnica prática na prova: ao verificar homogeneidade, sempre faça a substituição
e tente simplificar. Se aparecer multiplicando a expressão original, esse é o . - Exemplo extra rápido:
é homogênea de grau porque . Qualquer função da forma será homogênea de grau .
Passo 6
Verificação alternativa via identidade de Euler (apenas como curiosidade/prova extra):
Se uma função diferenciável é homogênea de grau , então vale a identidade de Euler
Se uma função diferenciável é homogênea de grau
Calculemos as derivadas de
:
Então
Isto dá
. Como
não é identicamente zero, segue
. (Consistente com o resultado anterior.)
Resposta
A função é homogênea de grau
.