Verifique se a função é homogênea. Em caso afirmativo, determine o grau de homogeneidade.
f(x, y)=\sin \left(\frac{x}{y}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: verificar se a função f(x,y)=\sin\!\left(\dfrac{x}{y}\right) é homogênea e, em caso afirmativo, determinar o grau de homogeneidade.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=\sin\!\left(\dfrac{x}{y}\right).
  • Observação importante sobre domínio: a expressão \dfrac{x}{y} exige que y\neq 0. Logo o domínio relevante é \{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\;y\neq 0\}.
  • Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

Definição de homogênea (explicada passo a passo):
Uma função de duas variáveis f(x,y) é dita homogênea de grau k se, para todo escalar t (normalmente t\neq 0) e todo (x,y) do domínio, vale
f(tx,ty)=t^{k}f(x,y).
O que isso significa em palavras: ao multiplicar os dois argumentos por um mesmo fator t, o valor da função se multiplica por t^{k}.
  • Aqui k é um número real chamado grau de homogeneidade.
  • Exemplo rápido e intuitivo: g(x,y)=x^2+y^2 é homogênea de grau 2 porque g(tx,ty)=(tx)^2+(ty)^2=t^2(x^2+y^2).

Passo 3

Aplicando a definição à nossa função: calcular f(tx,ty).
Começo substituindo (x,y) por (tx,ty) na fórmula:
f(tx,ty)=\sin\!\left(\dfrac{tx}{ty}\right).
Agora simplifico a fração dentro do seno (desde que t\neq 0 e y\neq 0):
\dfrac{tx}{ty}=\dfrac{t}{t}\cdot\dfrac{x}{y}=\dfrac{x}{y}.
Portanto
f(tx,ty)=\sin\!\left(\dfrac{x}{y}\right).

Passo 4

Comparação com a forma t^{k}f(x,y):
Como f(x,y)=\sin\!\left(\dfrac{x}{y}\right), da igualdade do passo anterior obtemos
f(tx,ty)=\sin\!\left(\dfrac{x}{y}\right)=1\cdot \sin\!\left(\dfrac{x}{y}\right)=t^{0}f(x,y).
Isto mostra que a relação de homogeneidade vale com k=0. Sobre o intervalo de validade: a simplificação cancelou t e é válida para qualquer t\neq 0 (e lembrando y\neq 0 para que a função esteja bem definida). Logo a função é homogênea de grau 0.

Passo 5

Interpretação didática e dicas para prova:
  • Funções homogêneas de grau 0 são exatamente aquelas que não mudam quando multiplica-se (x,y) por um fator comum; em outras palavras dependem só da razão \dfrac{x}{y}. Aqui a função é explicitamente \sin\!\big(\dfrac{x}{y}\big), então isso já é um indício forte.
  • Técnica prática na prova: ao verificar homogeneidade, sempre faça a substituição f(tx,ty) e tente simplificar. Se aparecer t^{k} multiplicando a expressão original, esse é o k.
  • Exemplo extra rápido: h(x,y)=\dfrac{x}{y} é homogênea de grau 0 porque \dfrac{tx}{ty}=\dfrac{x}{y}. Qualquer função da forma H\!\left(\dfrac{x}{y}\right) será homogênea de grau 0.

Passo 6

Verificação alternativa via identidade de Euler (apenas como curiosidade/prova extra):
Se uma função diferenciável é homogênea de grau k, então vale a identidade de Euler
x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}=k f(x,y).
Calculemos as derivadas de f(x,y)=\sin\!\left(\dfrac{x}{y}\right):
\frac{\partial f}{\partial x}=\cos\!\left(\dfrac{x}{y}\right)\cdot\frac{1}{y}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=\cos\!\left(\dfrac{x}{y}\right)\cdot\left(-\frac{x}{y^{2}}\right).
Então
x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y} = x\cdot\frac{\cos(x/y)}{y} + y\cdot\left(-\frac{x\cos(x/y)}{y^{2}}\right) =0.
Isto dá 0=k f(x,y). Como f não é identicamente zero, segue k=0. (Consistente com o resultado anterior.)

Resposta

A função é homogênea de grau 0.

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