Considere a função f(x, y)=2 x+5 y. Calcule \frac{f(x, y+k)-f(x, y)}{k}, onde k \neq 0 é um número real qualquer.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=2x+5y e pede para calcular a expressão
\frac{f(x,y+k)-f(x,y)}{k},
onde k\neq 0 é um número real qualquer. Informações relevantes:
  • A função é f(x,y)=2x+5y.
  • A operação pede a diferença entre o valor de f em (x,y+k) e em (x,y), dividida por k.
  • Está explícito que k\neq 0, então a divisão por k é válida.

Passo 2

Primeiro avaliamos f em (x,y+k). Isso significa substituir y por y+k na expressão de f:
f(x,y+k)=2x+5(y+k).
Aqui foi feita uma substituição direta: onde havia y na definição de f, colocamos y+k.

Passo 3

Aplicamos a propriedade distributiva para desenvolver 5(y+k). A propriedade distributiva diz que a(b+c)=ab+ac. Aplicando com a=5, b=y, c=k, obtemos:
5(y+k)=5y+5k.
Portanto
f(x,y+k)=2x+5y+5k.

Passo 4

Agora calculamos a diferença f(x,y+k)-f(x,y). Como f(x,y)=2x+5y, subtraímos:
f(x,y+k)-f(x,y)=(2x+5y+5k)-(2x+5y).
Ao realizar a subtração, os termos 2x e 5y se cancelam:
(2x+5y+5k)-(2x+5y)=5k.

Passo 5

Finalmente dividimos por k. Como k\neq 0, podemos simplificar:
\frac{f(x,y+k)-f(x,y)}{k}=\frac{5k}{k}=5.
Essa simplificação usa a propriedade de que \dfrac{ak}{k}=a quando k\neq 0.

Resposta

5

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