Considere a função
f(x, y)=\frac{x y(x+y)}{x^{2}+y^{2}}
a)(Valor 0.5) Sabendo que \lim _{\substack{(x, y) \rightarrow(0,0) \\\ f(x, y)}} existe, encontre esse limite.
b) (Valor 1.5) Demonstre que \lim f(x, y) é o limite encontrado no item (a).
(x, y) \rightarrow(0,0)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=\frac{x\,y\,(x+y)}{x^{2}+y^{2}}
e pede em (a) o valor do limite \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y), sabendo que ele existe, e em (b) uma demonstração rigorosa (via definição \varepsilon \delta) de que esse limite vale o resultado de (a).

Passo 2

Para descobrir o valor do limite, fazemos uma análise por caminhos. Tomemos, por exemplo, a reta y=m\,x. Então
f\bigl(x,mx\bigr) =\frac{x\,(m x)\bigl(x+m x\bigr)}{x^{2}+(m x)^{2}} =\frac{m\,x^{2}\,(1+m)\,x}{x^{2}(1+m^{2})} =\frac{m(1+m)\,x^{3}}{(1+m^{2})\,x^{2}} =\frac{m(1+m)}{1+m^{2}}\;x.
Quando x\to0, esse quociente tende a 0. Como esse resultado independe de m, concluímos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.

Passo 3

Agora fazemos a prova \varepsilon \delta. Queremos mostrar que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que
0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta \quad\Longrightarrow\quad \Bigl|\frac{x\,y\,(x+y)}{x^{2}+y^{2}}-0\Bigr|<\varepsilon.
Observe que
\bigl|x\,y\,(x+y)\bigr| \le |x|\;|y|\;\bigl(|x|+|y|\bigr).
Seja r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Então |x|\le r e |y|\le r, e portanto
|x\,y\,(x+y)|\le r\cdot r\cdot (r+r)=2\,r^{3}.
Como x^{2}+y^{2}=r^{2}, vem
\biggl|\frac{x\,y\,(x+y)}{x^{2}+y^{2}}\biggr| \le \frac{2\,r^{3}}{r^{2}}=2\,r.
Escolhendo \delta=\varepsilon/2, sempre que 0<r<\delta teremos
\bigl|f(x,y)-0\bigr|\le 2\,r<2\,\delta=2\cdot\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon,
o que completa a demonstração.

Resposta

a) O limite é 0.
b) A prova rigorosa via \varepsilon \delta está feita no Passo 3.

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