a)(Valor 0.5) Sabendo que \lim _{\substack{(x, y) \rightarrow(0,0) \\\ f(x, y)}} existe, encontre esse limite.
b) (Valor 1.5) Demonstre que \lim f(x, y) é o limite encontrado no item (a).
(x, y) \rightarrow(0,0)
Passo 1
O enunciado nos dá a função
f(x,y)=\frac{x\,y\,(x+y)}{x^{2}+y^{2}}
e pede em (a) o valor do limite \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y), sabendo que ele existe, e em (b) uma demonstração rigorosa (via definição \varepsilon–\delta) de que esse limite vale o resultado de (a).
Passo 2
Para descobrir o valor do limite, fazemos uma análise por caminhos. Tomemos, por exemplo, a reta y=m\,x. Então