Considere a função f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{2 y^{3}-3 x^{5}}{x^{4}+y^{4}} & \text { , se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right..
(Valor 1.0) Calcule, usando as regras de derivação, \frac{\partial f}{\partial y}(x, y), \operatorname{para}(x, y) \neq(0,0).

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= \begin{cases} \displaystyle\frac{2y^{3}-3x^{5}}{x^{4}+y^{4}},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\\\ 0,&\text{se }(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede \partial f/\partial y para (x,y)\neq(0,0). O conteúdo aqui é derivada parcial de uma função quociente, e vamos usar a regra do quociente.

Passo 2

Definimos as funções
u(x,y)=2y^{3}-3x^{5}, \qquad v(x,y)=x^{4}+y^{4}.
Calculamos as derivadas parciais em relação a y:
u_{y}=\frac{\partial}{\partial y}(2y^{3}-3x^{5})=6y^{2}, \qquad v_{y}=\frac{\partial}{\partial y}(x^{4}+y^{4})=4y^{3}.

Passo 3

Pela regra do quociente, para (x,y)\neq(0,0) vale
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{u_{y}\,v - u\,v_{y}}{v^{2}}.

Passo 4

Substituindo u_{y}=6y^{2}, v=x^{4}+y^{4}, u=2y^{3}-3x^{5} e v_{y}=4y^{3}, o numerador fica
6y^{2}(x^{4}+y^{4}) \;-\;(2y^{3}-3x^{5})\,4y^{3} =6x^{4}y^{2}+6y^{6}-8y^{6}+12x^{5}y^{3} =6x^{4}y^{2}+12x^{5}y^{3}-2y^{6}.

Passo 5

Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =\frac{6x^{4}y^{2}+12x^{5}y^{3}-2y^{6}}{(x^{4}+y^{4})^{2}}, \quad (x,y)\neq(0,0).

Resposta

\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =\frac{6x^{4}y^{2}+12x^{5}y^{3}-2y^{6}}{(x^{4}+y^{4})^{2}}, \quad (x,y)\neq(0,0).

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