Considere a função f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{2 y^{3}-3 x^{5}}{x^{4}+y^{4}} & \text { , se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right..
(Valor 1.0) Calcule \frac{\partial f}{\partial x}(0,0).

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{2y^{3}-3x^{5}}{x^{4}+y^{4}},&(x,y)\neq(0,0),\\\\ 0,&(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede a derivada parcial em x no ponto (0,0). Para isso usamos a definição
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) =\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}.

Passo 2

Substituindo y=0 na expressão de f para (x,y)\neq(0,0), temos
f(h,0) =\frac{2\cdot0^{3}-3h^{5}}{h^{4}+0} =\frac{-3h^{5}}{h^{4}} =-3h.
Logo o quociente de diferenças é
\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} =\frac{-3h-0}{h} =-3
e esse valor independe de h.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=-3.

Exercícios relacionados