Faça o que se pede:
( 1 ponto) Determine e esboce o domínio de f(x, y)=\frac{\ln \left(x^{2}+y\right)^{-1}}{\sqrt{-x^{2}+y+2}}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar e esboçar o domínio da função
f(x,y)=\frac{\ln\left(x^{2}+y\right)^{-1}}{\sqrt{-x^{2}+y+2}}.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A função está expressa em termos de x e y.
  • Aparecem duas operações que impõem restrições no domínio: o logaritmo natural \ln(\cdot) e a raiz quadrada \sqrt{\cdot} no denominador.
  • O problema solicita tanto a descrição do conjunto de pontos (x,y) onde f está definida quanto um esboço desse conjunto.

Passo 2

Entendendo as restrições que cada operação impõe (aula rápida e prática).
  • Para que \ln(u) esteja definido em números reais, precisamos ter u>0. Aqui u=(x^{2}+y)^{-1}. Então devemos exigir (x^{2}+y)^{-1}>0.
  • Para que \sqrt{v} esteja definida em números reais, precisamos ter v\ge 0. Contudo, como a raiz aparece no denominador, não podemos ter \sqrt{v}=0 (pois dividir por zero é proibido). Portanto precisamos de v>0. Aqui v=-x^{2}+y+2.
Vou explicar com calma cada condição e como simplificá-las para obter desigualdades em x e y.

Passo 3

Condicional do logaritmo: tratar (x^{2}+y)^{-1}>0.
  • Observação: para qualquer número real w, w^{-1}>0 se e só se w>0. (Porque a função t\mapsto 1/t preserva o sinal quando t\neq0.)
  • Portanto (x^{2}+y)^{-1}>0 é equivalente a exigir
x^{2}+y>0.
  • Reescrevendo em termos de y, obtemos
y>-x^{2}.
Explicação intuitiva: dentro do logaritmo temos o inverso de x^{2}+y; para o inverso ser positivo, a própria soma x^{2}+y tem que ser positiva. Note que não pode ser zero (pois então o inverso seria infinito), por isso usamos >, não \ge.

Passo 4

Condicional da raiz no denominador: tratar -x^{2}+y+2>0.
  • Como a raiz está no denominador, precisamos da estrita positividade do radicando:
-x^{2}+y+2>0.
  • Reescrevendo em termos de y, obtemos
y>x^{2}-2.
Explicação intuitiva: o radicando deve ser positivo para a raiz existir e não ser zero (evitando divisão por zero). Assim y precisa ficar acima da parábola y=x^{2}-2.

Passo 5

Combinar as duas condições para obter o domínio.
  • Devemos satisfazer simultaneamente:
y>-x^{2}\quad\text{e}\quad y>x^{2}-2.
  • Isso significa que y deve ser maior que ambas as quantidades, isto é, maior que o máximo entre elas. Em forma compacta:
y>\max\bigl(-x^{2},\,x^{2}-2\bigr).
  • Portanto o domínio D pode ser escrito como
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y>\max(-x^{2},\,x^{2}-2)\}.

Passo 6

Analisar a forma geométrica desse conjunto (onde fica a “fronteira” e como esboçar).
  • As duas curvas que formam a fronteira são as parábolas
y=-x^{2}\quad\text{e}\quad y=x^{2}-2.
  • Elas se interceptam quando -x^{2}=x^{2}-2. Resolvendo:
- x^{2}=x^{2}-2 \implies -2x^{2}=-2 \implies x^{2}=1 \implies x=\pm 1.
  • Nos pontos de interseção temos y=-1, então as interseções são (1,-1) e (-1,-1).
  • Para decidir qual das duas curvas é a mais alta (o \max) dependendo de x, escolhemos um ponto de teste:
    • Em x=0: -x^{2}=0 e x^{2}-2=-2. Logo \max=0, isto é, y>-x^{2} domina para x=0.
    • Em x=2: -x^{2}=-4 e x^{2}-2=2. Logo \max=2, isto é, y>x^{2}-2 domina para x=2.
  • Conclusão prática: entre x=-1 e x=1 (isto é, para |x|<1) a curva superior é y=-x^{2}. Para |x|>1 a curva superior é y=x^{2}-2. Nas abscissas x=\pm1 as duas se encontram em y=-1.

Passo 7

Como esboçar o domínio com essas informações (passo a passo para desenhar na prova):
  1. Desenhe o eixo x e y.
  2. Desenhe a parábola aberta para baixo y=-x^{2}; ela tem vértice em (0,0) e passa por (\pm1,-1).
  3. Desenhe a parábola aberta para cima y=x^{2}-2; ela tem vértice em (0,-2) e também passa por (\pm1,-1).
  4. Marque os pontos de interseção (\pm1,-1).
  5. A fronteira do domínio é a união das duas parábolas, mas o domínio em si é a região estritamente acima dessa “cobertura” (o envelope superior). Ou seja, sombreie a região acima de ambas as curvas; não inclua as curvas (porque as desigualdades são estritas).
  6. Exemplos de pontos pertencentes ao domínio: (0,1) (porque 1>0 e 1> -2), (2,3) (porque 3> -4 e 3>2).
  7. Exemplos de pontos fora do domínio: (0,0) (fica sobre y=-x^2, não permitido), (2,1) (aqui 1 não é maior do que x^{2}-2=2).

Passo 8

Resumo final e forma alternativa (útil na prova).
  • Forma compacta e elegante do domínio:
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y>\max(-x^{2},\,x^{2}-2)\}.
  • Forma em pedaços (útil para desenho):
\begin{cases} y>-x^{2}, & \text{se } |x|<1,\\[4pt] y>x^{2}-2, & \text{se } |x|>1, \end{cases}
e nas linhas x=\pm1 a fronteira é y>-1 (mas o ponto exatamente em y=-1 não pertence ao domínio).]

Resposta

D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y>\max(-x^{2},\,x^{2}-2)\}.

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