Faça o que se pede:
( 1 ponto) Determine e esboce o domínio de
.
( 1 ponto) Determine e esboce o domínio de
Passo 1
O enunciado pede: determinar e esboçar o domínio da função
Informações relevantes dadas no enunciado:
- A função está expressa em termos de
e . - Aparecem duas operações que impõem restrições no domínio: o logaritmo natural
e a raiz quadrada no denominador. - O problema solicita tanto a descrição do conjunto de pontos
onde está definida quanto um esboço desse conjunto.
Passo 2
Entendendo as restrições que cada operação impõe (aula rápida e prática).
- Para que
esteja definido em números reais, precisamos ter . Aqui . Então devemos exigir . - Para que
esteja definida em números reais, precisamos ter . Contudo, como a raiz aparece no denominador, não podemos ter (pois dividir por zero é proibido). Portanto precisamos de . Aqui .
Vou explicar com calma cada condição e como simplificá-las para obter desigualdades em
e
.
Passo 3
Condicional do logaritmo: tratar
.
- Observação: para qualquer número real
, se e só se . (Porque a função preserva o sinal quando .) - Portanto
é equivalente a exigir
- Reescrevendo em termos de
, obtemos
Explicação intuitiva: dentro do logaritmo temos o inverso de
; para o inverso ser positivo, a própria soma
tem que ser positiva. Note que não pode ser zero (pois então o inverso seria infinito), por isso usamos
, não
.
Passo 4
Condicional da raiz no denominador: tratar
.
- Como a raiz está no denominador, precisamos da estrita positividade do radicando:
- Reescrevendo em termos de
, obtemos
Explicação intuitiva: o radicando deve ser positivo para a raiz existir e não ser zero (evitando divisão por zero). Assim
precisa ficar acima da parábola
.
Passo 5
Combinar as duas condições para obter o domínio.
- Devemos satisfazer simultaneamente:
- Isso significa que
deve ser maior que ambas as quantidades, isto é, maior que o máximo entre elas. Em forma compacta:
- Portanto o domínio
pode ser escrito como
Passo 6
Analisar a forma geométrica desse conjunto (onde fica a “fronteira” e como esboçar).
- As duas curvas que formam a fronteira são as parábolas
- Elas se interceptam quando
. Resolvendo:
- Nos pontos de interseção temos
, então as interseções são e . - Para decidir qual das duas curvas é a mais alta (o
) dependendo de , escolhemos um ponto de teste: - Em
: e . Logo , isto é, domina para . - Em
: e . Logo , isto é, domina para .
- Em
- Conclusão prática: entre
e (isto é, para ) a curva superior é . Para a curva superior é . Nas abscissas as duas se encontram em .
Passo 7
Como esboçar o domínio com essas informações (passo a passo para desenhar na prova):
- Desenhe o eixo
e . - Desenhe a parábola aberta para baixo
; ela tem vértice em e passa por . - Desenhe a parábola aberta para cima
; ela tem vértice em e também passa por . - Marque os pontos de interseção
. - A fronteira do domínio é a união das duas parábolas, mas o domínio em si é a região estritamente acima dessa “cobertura” (o envelope superior). Ou seja, sombreie a região acima de ambas as curvas; não inclua as curvas (porque as desigualdades são estritas).
- Exemplos de pontos pertencentes ao domínio:
(porque e ), (porque e ). - Exemplos de pontos fora do domínio:
(fica sobre , não permitido), (aqui não é maior do que ).
Passo 8
Resumo final e forma alternativa (útil na prova).
- Forma compacta e elegante do domínio:
- Forma em pedaços (útil para desenho):
e nas linhas
a fronteira é
(mas o ponto exatamente em
não pertence ao domínio).]