Considere a função:
Determine:
Se
é contínua no ponto
.
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a função
é contínua no ponto
. Aqui, estamos trabalhando com continuidade de funções de duas variáveis. Para isso, precisamos ver se o limite de
quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto, que é 0.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser contínua em um ponto. Continuidade em
significa que:
Como
, precisamos mostrar que o limite da função quando
se aproxima de
também é 0.
Passo 3
Para encontrar esse limite, uma boa estratégia é usar coordenadas polares. Isso porque, em coordenadas polares, podemos expressar
e
em termos de um raio
e um ângulo
:
Quando
tende a 0, o ponto
se aproxima de
.
Passo 4
Vamos reescrever a função
em coordenadas polares:
Notamos que
.
Então, a função fica:
Passo 5
Agora, vamos analisar o limite quando
:
Perceba que quando
:
Então, o limite se torna:
Passo 6
No entanto, queremos que esse limite seja igual a 0 para a função ser contínua em
. Mas o que encontramos foi que:
Resposta
Como o limite de
quando
se aproxima de
é 1 e não igual a
, a função
não é contínua no ponto
.