Considere a função:
f(x, y)=ll e^x+y1+x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
Determine:
Se f(x, y) é contínua no ponto (0,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a função é contínua no ponto . Aqui, estamos trabalhando com continuidade de funções de duas variáveis. Para isso, precisamos ver se o limite de quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto, que é 0.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser contínua em um ponto. Continuidade em lim(x, y) to (0,0) f(x, y) = f(0,0) significa que:
Como , precisamos mostrar que o limite da função quando se aproxima de também é 0.

Passo 3

Para encontrar esse limite, uma boa estratégia é usar coordenadas polares. Isso porque, em coordenadas polares, podemos expressar x = r cos(theta) e y = r sin(theta) em termos de um raio e um ângulo :
Quando tende a 0, o ponto se aproxima de .

Passo 4

Vamos reescrever a função f(r, theta) = e^r cos(theta) + r sin(theta)1 + r^2 cos^2(theta) + r^2 sin^2(theta) em coordenadas polares:
f(r, theta) = e^r(cos(theta) + sin(theta))1 + r^2
Notamos que .
Então, a função fica:

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite quando limr to 0 e^r(cos(theta) + sin(theta))1 + r^2 :
limr to 0 1 + r(cos(theta) + sin(theta))1 = 1
Perceba que quando :
Então, o limite se torna:

Passo 6

No entanto, queremos que esse limite seja igual a 0 para a função ser contínua em lim(x, y) to (0,0) f(x, y) = 1 neq 0 . Mas o que encontramos foi que:

Resposta

Como o limite de quando se aproxima de é 1 e não igual a , a função não é contínua no ponto .

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